Una aguja, un siglo de espera
Imagine una aguja sobre una mesa. Quiere hacerla girar 360 grados —hacer que apunte en todas las direcciones posibles—. ¿Cuál es la menor superficie que necesita para efectuar ese giro? La pregunta, formulada en 1917 por el matemático japonés Sôichi Kakeya, parece casi infantil. Ha resistido un siglo de matemáticas.
En 2025, Hong Wang y Joshua Zahl publicaron una demostración de 127 páginas que resuelve definitivamente el caso tridimensional de este problema. El 23 de julio de 2026, durante la inauguración del Congreso Internacional de Matemáticos de Filadelfia —el primero celebrado en Estados Unidos desde 1986—, Wang recibió la Medalla Fields. Se convierte así en la tercera mujer en obtener este galardón en los 90 años de historia del premio, después de Maryam Mirzakhani en 2014 y Maryna Viazovska en 2022.
Otros tres matemáticos comparten los premios de 2026: Yu Deng, John Pardon y Jacob Tsimerman. Pero fue el trabajo de Wang el que acaparó la atención, y con razón: cierra un capítulo abierto antes de la Primera Guerra Mundial.
Lo que la aguja esconde en realidad
Volvamos a la mesa. En dos dimensiones, la respuesta a la pregunta de Kakeya es tan contraintuitiva que resulta casi chocante. El matemático ruso Abram Besicovitch demostró que se pueden construir conjuntos que contienen un segmento en todas las direcciones posibles y cuya área puede ser tan pequeña como se quiera —hasta tender a cero—. Dicho de otro modo, una aguja puede apuntar en cada dirección del plano ocupando, en total, una superficie casi nula. Esto ya debería hacer tambalear su intuición geométrica.
Pero el problema de Kakeya no termina ahí. La verdadera cuestión moderna, como explica la obra pedagógica de Vincent Borrelli y Jean-Luc Rullière, se refiere a la dimensión de estos extraños conjuntos. En dos dimensiones, el caso quedó resuelto en 1971 gracias a Roy Davies: aunque el área pueda ser nula, la dimensión fractal de estos conjuntos es efectivamente 2. ¿Pero en tres dimensiones? Ahí el problema se resistía.
La conjetura de Kakeya en 3D afirma que todo conjunto que contenga un segmento de longitud 1 en cada dirección del espacio debe tener dimensión de Hausdorff y dimensión de Minkowski iguales a 3; es decir, que es, en un sentido preciso, tan «grande» como el propio espacio. No hay truco posible ni atajo geométrico. Durante décadas, los mejores matemáticos del mundo solo lograron establecer cotas parciales. Thomas Wolff obtuvo en 1995 una cota de dimensión 2,5 mediante el llamado argumento del hairbrush (literalmente, el cepillo para el pelo: una configuración de tubos que irradian desde un eje central). Katz, Łaba y Tao mejoraron después estas cotas poco a poco. La conjetura completa, sin embargo, seguía resistiendo.
Wang y Zahl dieron el paso. Su demostración, depositada en arXiv en febrero de 2025, establece que todo conjunto de Kakeya en el espacio tridimensional tiene dimensión 3. La estrategia se basa en un sofisticado análisis multiescala: se divide el espacio en tubos muy finos, se distinguen las configuraciones «pegajosas» (en las que los tubos tienden a agruparse) de las configuraciones «no pegajosas», y se trata cada caso por separado. Terence Tao, que dedicó una larga entrada de blog a la demostración, observa sobriamente: «¡La demostración es larga: 127 páginas!» Desde su publicación, no se ha encontrado ningún error.
Por qué una aguja interesa a los físicos que estudian las ondas
Cabría preguntarse: ¿para qué sirve todo esto? La respuesta revela algo hermoso sobre el funcionamiento de las matemáticas. Los problemas de tipo Kakeya no pertenecen a un rincón aislado de la geometría: están en el corazón de una densa red que conecta el análisis armónico, las ecuaciones en derivadas parciales y la combinatoria aritmética.
El análisis armónico es el arte de descomponer funciones en ondas, como si descompusiéramos una nota musical en sus armónicos. Comprender cómo se concentran estas ondas en ciertas direcciones equivale precisamente a comprender configuraciones de tubos que apuntan en todas las direcciones. Por eso, como explica el matemático Pablo Shmerkin, de la Universidad de Columbia Británica, en un perfil publicado por Quanta Magazine, «todas estas conexiones explican por qué este campo se considera tan central y por qué Hong recibe tantos elogios».
Larry Guth, director de tesis de Wang en el MIT, lo resume con una franqueza desarmante: «Nunca resolví la conjetura de Kakeya, pero hubo cuatro o cinco ocasiones en las que creí que quizá lo lograría.» Wang, en cambio, tiene 35 años y ha conseguido lo que generaciones de matemáticos habían tropezado.
Una trayectoria sin igual
Nacida en 1991 en un pueblo de Guangxi, en el sur de China, Wang se saltó dos cursos en primaria. A los 16 años ingresó en la Universidad de Pekín para estudiar ciencias de la Tierra y del espacio, pero un año después se pasó a las matemáticas. A los 20 años dejó China para incorporarse a la École polytechnique en Francia; después cursó un máster en la Universidad Paris-Sud y un doctorado en el MIT bajo la dirección de Larry Guth, que defendió en 2019. Posdoctorado en el Institute for Advanced Study, profesora en UCLA y después en el Courant Institute de NYU; desde septiembre de 2025 es investigadora en el Institut des Hautes Études Scientifiques, al tiempo que conserva su puesto neoyorquino.
Esta trayectoria intercontinental no es anecdótica. Wang y su compañero de galardón Yu Deng son los primeros ciudadanos chinos en recibir la Medalla Fields desde Shing-Tung Yau en 1982, como informa The Hindu. Dos galardonados de cuatro, procedentes de una misma generación formada entre Pekín, París y las grandes universidades estadounidenses: es un dato que dice algo sobre la circulación internacional del talento matemático.
Los otros tres: un panorama completo
Los demás galardonados completan un panorama de la investigación matemática contemporánea. Yu Deng, nacido en 1989 en Henan y hoy profesor en la Universidad de Chicago, resolvió —junto con Zaher Hani y Xiao Ma— una parte del sexto problema de Hilbert, el programa lanzado en 1900 que pedía fundamentar rigurosamente la física en las matemáticas. Su aportación consistió en derivar la ecuación de Boltzmann, que describe cómo se comportan colectivamente las partículas gaseosas, a partir de las leyes que rigen las colisiones individuales entre esferas duras.
John Pardon, de 37 años y profesor en el Simons Centre for Geometry and Physics de Stony Brook, trabaja en geometría simpléctica: la geometría que describe cómo evolucionan los sistemas físicos en el tiempo. Resolvió la conjetura MNOP, de veinte años de antigüedad, sobre el recuento de curvas en espacios geométricos complejos llamados variedades de Calabi-Yau. Jacob Tsimerman, de 38 años y de la Universidad de Toronto, encontró por su parte aplicaciones de la o-minimalidad —una herramienta de lógica matemática— en geometría aritmética, y demostró en particular la conjetura de Griffiths. El mismo día del anuncio de su medalla, Tsimerman anunció que se incorporaba al grupo de investigación sobre seguridad de OpenAI.
Según la Unión Matemática Internacional, cada galardonado recibe 15 000 dólares canadienses, es decir, unos 10 600 dólares estadounidenses. Lo importante no es la cantidad, sino lo que dijo el presidente de la IMU, Hiraku Nakajima, durante la ceremonia: «Estos cuatro medallistas encarnan la profundidad, la originalidad y la vitalidad de las matemáticas contemporáneas.»
Para Wang, la vitalidad en cuestión se resume en una frase que deslizó tras la publicación de su demostración: «Nadie puede venir y decir: “Oh, en realidad, no es cierto”.» Cien años después de Kakeya, la aguja ha encontrado por fin su lugar en el espacio.
