Un problema de hace 125 años y la promesa de un gigante
En 1900, David Hilbert sube a la tribuna del Congreso Internacional de Matemáticos de París y lanza un desafío a toda una disciplina: presenta 23 problemas abiertos que, en su opinión, darán forma a las matemáticas del siglo venidero. El sexto no es una conjetura sobre los números primos ni una cuestión de geometría abstracta. Es algo más ambicioso, casi filosófico: ¿pueden formularse las leyes fundamentales de la física con el mismo rigor que un teorema matemático? Y, en particular, ¿puede demostrarse de manera irreprochable que el comportamiento colectivo de las moléculas de un gas obedece efectivamente a las ecuaciones que los físicos utilizan desde hace décadas?
Ciento veinticinco años después, Yu Deng, profesor de la Universidad de Chicago, ha dado una respuesta decisiva a este desafío, al menos en lo que respecta a la parte central del programa. Junto con Zaher Hani y Xiao Ma, ambos de la Universidad de Míchigan, publicó en agosto de 2024 una prepublicación en arXiv que electrizó a la comunidad matemática. Después, en marzo de 2025, el trío remachó el clavo con un segundo artículo. Según informa DongA Science, estos dos trabajos son ya aclamados como un avance decisivo en el núcleo del Sexto Problema de Hilbert.
Tres maneras de observar el mismo gas
Para comprender lo que Deng y sus colaboradores han demostrado, primero hay que aceptar una idea algo desconcertante: el mismo gas puede describirse mediante ecuaciones totalmente distintas, según la escala a la que se lo observe.
Máximo aumento: cada molécula es una pequeña bola que rebota contra sus vecinas según las leyes de Newton. Posición, velocidad, trayectoria: todo es determinista. En principio, si conociera el estado exacto de cada molécula en el instante inicial, podría calcular el estado futuro del sistema. En la práctica, un litro de aire contiene unos 27 trillones de moléculas. Baste decir que el método directo está fuera de nuestro alcance.
Aumento intermedio: abandonamos la idea de seguir individualmente cada molécula. Nos interesa la distribución de velocidades: cuántas moléculas se desplazan aproximadamente en tal dirección y a tal velocidad. De ello se ocupa la ecuación de Boltzmann, formulada por Ludwig Boltzmann a finales del siglo XIX. Esta ecuación describe cómo evoluciona esa distribución con el tiempo bajo el efecto de las colisiones. Es irreversible: predice que el gas tiende hacia el equilibrio y que el desorden aumenta. Es una versión matemática de la flecha del tiempo.
Máximo alejamiento: tratamos el gas como un fluido continuo, descrito por su densidad, su velocidad media y su presión. Así llegamos a las ecuaciones de Navier-Stokes, las que rigen la aerodinámica, la meteorología y el flujo de la sangre por las arterias.
El programa de Hilbert exigía conectar rigurosamente estos tres niveles: demostrar que las ecuaciones del nivel superior se deducen, matemáticamente, de las del nivel inferior. La cadena que debía establecerse: Newton → Boltzmann → Navier-Stokes.
El obstáculo que Lanford no pudo superar
En 1975, el matemático estadounidense Oscar Lanford dio un primer paso: demostró que la ecuación de Boltzmann puede derivarse de las leyes newtonianas. ¿Victoria? No del todo. Como escribe el propio Lanford en su artículo fundacional de 1976, el resultado solo vale para tiempos inferiores a aproximadamente una quinta parte del tiempo medio libre, el tiempo típico entre dos colisiones. En física, eso es un abrir y cerrar de ojos. Demasiado poco para describir nada interesante.
¿Por qué este bloqueo? Por las recolisiones. La ecuación de Boltzmann se basa en una hipótesis crucial: las moléculas que se encuentran son estadísticamente independientes; no tienen una «historia común». En lapsos muy breves, esto es razonable: dos moléculas que acaban de cruzarse tienen pocas probabilidades de volver a encontrarse. Pero dejemos pasar el tiempo y las mismas partículas acaban cruzándose de nuevo, llevando consigo la memoria de sus interacciones pasadas. Las correlaciones se acumulan, la hipótesis de independencia se derrumba y, con ella, la demostración.
Durante cincuenta años, los matemáticos se estrellaron contra este muro.
Ordenar una biblioteca infinita de escenarios de colisión
La estrategia de Deng, Hani y Ma es, en principio, casi elegante: si las recolisiones son el problema, hay que clasificarlas y contarlas. No ignorarlas, sino dominarlas.
Los propios autores describen en sus notas explicativas que el núcleo de la demostración es «un algoritmo de partición puramente combinatorio». Imagine que cada historia de colisiones entre partículas forma un grafo, un árbol de encuentros. La demostración transforma el problema físico en un problema de recuento de estos grafos. Se clasifican los escenarios, se eliminan los que contienen demasiadas recolisiones —son raros— y, para los demás, se estima con precisión su probabilidad de aparición. El resultado es que puede demostrarse que las contribuciones de los escenarios problemáticos son despreciables y que la ecuación de Boltzmann sigue siendo válida, ya no durante un abrir y cerrar de ojos, sino durante tiempos arbitrariamente largos, siempre que la solución de la propia ecuación de Boltzmann siga siendo regular.
Este enfoque combinatorio no surgió de la nada. Deng y Hani habían desarrollado métodos análogos en un contexto muy distinto: el estudio de la turbulencia de ondas. Como relata Quanta Magazine, el trío adaptó estas herramientas al mundo de las partículas, una transferencia conceptual que constituye por sí misma una importante contribución metodológica.
El primer artículo, anunciado ya como «de próxima aparición» en los Annals of Mathematics —la revista matemática más prestigiosa del mundo—, aborda el caso de un gas en el espacio infinito. El segundo, disponible en arXiv, extiende la demostración a un gas confinado en una caja —técnicamente, un toro en dos y tres dimensiones— y completa la cadena hasta las ecuaciones de Navier-Stokes y Euler. Los autores escriben explícitamente: «Esto resuelve el sexto problema de Hilbert, en lo que atañe al programa.»
Conviene hacer una salvedad. Como señala un comentario crítico de Shan Gao en el PhilSci-Archive, la demostración opera en el denominado régimen de Boltzmann-Grad, en el que las partículas son cada vez más pequeñas y más numerosas, pero la fracción del espacio que ocupan tiende a cero. Este régimen corresponde a un gas muy diluido, no a un fluido denso. Según ese comentario, sigue abierta la cuestión de si el Sexto Problema de Hilbert, en su sentido más general, está cerrado. El resultado matemático es sólido dentro de su ámbito; su interpretación física universal lo es menos.
Una paradoja en el corazón de la demostración
Hay algo filosóficamente vertiginoso en lo que Deng, Hani y Ma han logrado. Las leyes de Newton son reversibles: si filmara el movimiento de todas las moléculas y reprodujera el vídeo al revés, la película seguiría siendo físicamente admisible. La ecuación de Boltzmann, en cambio, es irreversible: predice que la entropía aumenta, que el desorden crece, que no se vuelve atrás. ¿Cómo puede surgir una ecuación irreversible de dinámicas perfectamente reversibles?
La respuesta reside en el cambio de escala y en la hipótesis estadística sobre las correlaciones iniciales. No es la física la que se vuelve irreversible: es nuestra descripción del sistema, a medida que perdemos la información sobre las correlaciones individuales. La flecha del tiempo no está en las ecuaciones de Newton; nace del paso a la mirada estadística. Como señala Laure Saint-Raymond, en una conferencia dedicada a este desafío, «la teoría de Boltzmann fue controvertida porque parecía conducir a paradojas sobre la reversibilidad del movimiento».
Deng y sus colaboradores no han resuelto esta paradoja filosófica, pero han demostrado, con un rigor que el propio Hilbert habría apreciado, que la transición matemática entre ambos regímenes puede controlarse y cuantificarse, y es válida durante intervalos físicamente significativos.
El matemático discreto que juega al go
Yu Deng tiene 37 años. Creció en Shenzhen, representó a China en las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas de 2006 —medalla de oro—, obtuvo el título de Putnam Fellow en la competición universitaria norteamericana de 2010 y se doctoró en Princeton en 2015. Quienes lo conocen lo describen como extraordinariamente discreto. Rha Junhyun, profesor del Korea Institute for Advanced Study, declara a DongA Science: «Es difícil creer que una persona tan tranquila sea el autor del resultado más importante de nuestra época.» Fuera de las matemáticas, Deng juega al go, lee manga y aprecia la poesía del poeta Li Shangyin, de la dinastía Tang.
Su candidatura a la Medalla Fields de 2026 —cuyos galardonados se anunciarán durante el Congreso Internacional de Matemáticos de Filadelfia, del 23 al 30 de julio de 2026— se considera muy seria. El matemático Alexandru Ionescu, de Princeton, califica los trabajos de Deng como «avances de los más significativos de los últimos muchísimos años». Los premios se acumulan: medalla de oro del ICCM, Clay Research Award, premio Leonard Eisenbud de la American Mathematical Society. También ha sido invitado a impartir una conferencia en el ICM 2026, una señal fuerte dentro de la comunidad.
Los artículos siguen en proceso de verificación y publicación formal. Así avanza la ciencia: lentamente, minuciosamente, con la paciencia de un jugador de go que calcula sus jugadas varias decenas de movimientos por adelantado.
