Un problème vieux de 125 ans — et la promesse d'un géant
En 1900, David Hilbert monte à la tribune du Congrès International des Mathématiciens à Paris et lance un défi à toute une discipline : il présente 23 problèmes ouverts qui, selon lui, façonneront les mathématiques du siècle à venir. Le sixième n'est pas une conjecture sur les nombres premiers ni une question de géométrie abstraite. C'est quelque chose de plus ambitieux, presque philosophique : peut-on formuler les lois fondamentales de la physique avec la même rigueur qu'un théorème de mathématiques ? Et en particulier, peut-on démontrer, de manière irréprochable, que le comportement collectif des molécules d'un gaz obéit bien aux équations que les physiciens utilisent depuis des décennies ?
Cent vingt-cinq ans plus tard, Yu Deng, professeur à l'Université de Chicago, a apporté une réponse décisive à ce défi — du moins pour la partie centrale du programme. Avec Zaher Hani et Xiao Ma, tous deux à l'Université du Michigan, il a publié en août 2024 un preprint sur arXiv qui a électrisé la communauté mathématique. Puis, en mars 2025, le trio a enfoncé le clou avec un second article. Comme le rapporte DongA Science, ces deux travaux sont désormais salués comme une percée majeure sur le cœur du Sixième Problème de Hilbert.
Trois façons de regarder le même gaz
Pour comprendre ce que Deng et ses collaborateurs ont prouvé, il faut d'abord accepter une idée un peu troublante : on peut décrire le même gaz avec des équations totalement différentes, selon l'échelle à laquelle on l'observe.
Zoom maximal : chaque molécule est une petite bille qui rebondit sur ses voisines selon les lois de Newton. Position, vitesse, trajectoire — tout est déterministe. En principe, si vous connaissiez l'état exact de chaque molécule à l'instant initial, vous pourriez calculer l'état futur du système. En pratique, un litre d'air contient environ 27 milliards de milliards de molécules. Autant dire que la méthode directe est hors de portée.
Zoom intermédiaire : on abandonne l'idée de suivre chaque molécule individuellement. On s'intéresse à la distribution des vitesses — combien de molécules vont à peu près dans telle direction à telle vitesse. C'est l'objet de l'équation de Boltzmann, formulée par Ludwig Boltzmann à la fin du XIXe siècle. Cette équation décrit comment cette distribution évolue au fil du temps, sous l'effet des collisions. Elle est irréversible : elle prédit que le gaz tend vers l'équilibre, que le désordre augmente. C'est une version mathématique de la flèche du temps.
Zoom maximal de recul : on traite le gaz comme un fluide continu, décrit par sa densité, sa vitesse moyenne et sa pression. On arrive aux équations de Navier-Stokes, celles qui gouvernent l'aérodynamique, la météorologie, l'écoulement du sang dans les artères.
Le programme de Hilbert demandait de relier rigoureusement ces trois niveaux : prouver que les équations du niveau supérieur découlent, mathématiquement, de celles du niveau inférieur. La chaîne à établir : Newton → Boltzmann → Navier-Stokes.
Le verrou que Lanford n'a pas pu forcer
En 1975, le mathématicien américain Oscar Lanford franchit une première étape : il démontre que l'équation de Boltzmann peut bien être dérivée des lois newtoniennes. Victoire ? Pas tout à fait. Comme Lanford lui-même l'écrit dans son article fondateur de 1976, le résultat ne tient que pour des temps inférieurs à environ un cinquième du temps libre moyen — le temps typique entre deux collisions. En physique, c'est un clin d'œil. Bien trop court pour décrire quoi que ce soit d'intéressant.
Pourquoi ce blocage ? À cause des recollisions. L'équation de Boltzmann repose sur une hypothèse cruciale : les molécules qui se rencontrent sont statistiquement indépendantes — elles n'ont pas d'« historique commun ». Sur de très courtes durées, c'est raisonnable : deux molécules qui viennent de se croiser ont peu de chances de se revoir. Mais laissez le temps passer, et les mêmes particules finissent par se recroiser, emportant avec elles la mémoire de leurs interactions passées. Les corrélations s'accumulent, l'hypothèse d'indépendance s'effondre, et la preuve avec elle.
Pendant cinquante ans, les mathématiciens ont buté sur ce mur.
Trier une bibliothèque infinie de scénarios de collisions
La stratégie de Deng, Hani et Ma est, dans son principe, presque élégante : si les recollisions sont le problème, il faut les classer et les compter. Pas les ignorer — les dompter.
Les auteurs décrivent eux-mêmes dans leurs notes explicatives que le cœur de la preuve est « un algorithme de découpage purement combinatoire ». Imaginez que chaque histoire de collision entre particules forme un graphe — un arbre de rencontres. La preuve transforme le problème physique en un problème de comptage de ces graphes. On classe les scénarios, on élimine ceux qui contiennent trop de recollisions (ils sont rares), et pour les autres, on estime finement leur probabilité d'occurrence. Le résultat : on peut montrer que les contributions des scénarios problématiques sont négligeables, et que l'équation de Boltzmann reste valide — non plus pour un clin d'œil, mais pour des temps arbitrairement longs, tant que la solution de l'équation de Boltzmann elle-même reste régulière.
Cette approche combinatoire n'est pas tombée du ciel. Deng et Hani avaient développé des méthodes analogues dans un contexte très différent : l'étude de la turbulence d'ondes. Comme le raconte Quanta Magazine, le trio a adapté ces outils au monde des particules — une translation conceptuelle qui constitue en elle-même une contribution méthodologique majeure.
Le premier article, désormais annoncé comme « à paraître » dans les Annals of Mathematics — la revue mathématique la plus prestigieuse au monde —, traite le cas d'un gaz dans l'espace infini. Le second, disponible sur arXiv, étend la preuve à un gaz confiné dans une boîte (techniquement, un tore en deux et trois dimensions) et complète la chaîne jusqu'aux équations de Navier-Stokes et d'Euler. Les auteurs y écrivent explicitement : « This resolves Hilbert's sixth problem, as it pertains to the program. »
Une réserve mérite d'être posée. Comme le souligne un commentaire critique de Shan Gao sur le PhilSci-Archive, la preuve opère dans le régime dit de Boltzmann-Grad, où les particules sont de plus en plus petites et de plus en plus nombreuses, mais où la fraction de l'espace qu'elles occupent tend vers zéro. Ce régime correspond à un gaz très dilué — pas à un fluide dense. La question de savoir si le Sixième Problème de Hilbert dans son sens le plus général est clos reste, selon ce commentaire, ouverte. Le résultat mathématique est robuste dans son périmètre ; son interprétation physique universelle l'est moins.
Un paradoxe au cœur de la preuve
Il y a quelque chose de philosophiquement vertigineux dans ce que Deng, Hani et Ma ont accompli. Les lois de Newton sont réversibles : si vous filmiez le mouvement de toutes les molécules et passiez la vidéo à l'envers, le film serait physiquement licite. L'équation de Boltzmann, elle, est irréversible : elle prédit que l'entropie augmente, que le désordre croît, qu'on ne revient pas en arrière. Comment une équation irréversible peut-elle émerger de dynamiques parfaitement réversibles ?
La réponse tient dans le changement d'échelle et dans l'hypothèse statistique sur les corrélations initiales. Ce n'est pas la physique qui devient irréversible — c'est notre description du système, à mesure qu'on perd l'information sur les corrélations individuelles. La flèche du temps n'est pas dans les équations de Newton ; elle naît du passage au regard statistique. Comme le note Laure Saint-Raymond, dans une conférence consacrée à ce défi, « la théorie de Boltzmann fut controversée car elle semblait mener à des paradoxes sur la réversibilité du mouvement ».
Deng et ses collaborateurs n'ont pas résolu ce paradoxe philosophique — mais ils ont montré, avec une rigueur que Hilbert lui-même aurait appréciée, que la transition mathématique entre les deux régimes est contrôlable, quantifiable, et valide sur des durées physiquement significatives.
Le mathématicien discret qui joue au go
Yu Deng a 37 ans. Il a grandi à Shenzhen, représenté la Chine à aux Olympiades Internationales de Mathématiques en 2006 (médaille d'or), décroché le titre de Putnam Fellow lors de la compétition universitaire nord-américaine en 2010, et obtenu son doctorat à Princeton en 2015. Ceux qui le connaissent le décrivent comme remarquablement discret. Rha Junhyun, professeur au Korea Institute for Advanced Study, confie à DongA Science : « Il est difficile de croire qu'une personne aussi calme est l'auteur du résultat le plus important de notre époque. » En dehors des mathématiques, Deng joue au go, lit des mangas et apprécie la poésie du poète de la dynastie Tang Li Shangyin.
Sa candidature à la Médaille Fields 2026 — dont les lauréats seront annoncés lors du Congrès International des Mathématiciens à Philadelphie du 23 au 30 juillet 2026 — est considérée comme très sérieuse. Le mathématicien Alexandru Ionescu de Princeton qualifie les travaux de Deng d'« avancées parmi les plus significatives depuis de très nombreuses années ». Les prix s'accumulent : médaille d'or de l'ICCM, Clay Research Award, prix Leonard Eisenbud de l'American Mathematical Society. Il a également été invité à donner une conférence à l'ICM 2026 — un signal fort dans la communauté.
Les articles sont encore en cours de vérification et de publication formelle. La science avance ainsi : lentement, minutieusement, avec la patience d'un joueur de go qui calcule ses coups plusieurs dizaines de mouvements à l'avance.
