Le défi majeur de l'équation de Boltzmann réside dans l’apparition de l’irréversibilité (l’entropie qui augmente avec le temps) à partir des lois microscopiques données par les équations de Newton qui, elles, sont réversibles.
Cette équation fait intervenir les dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables ainsi que ses intégrales. Même si on sait actuellement la résoudre numériquement, l’étude de ses propriétés et la recherche de solutions exactes a mobilisé depuis plus d’un siècle de nombreux mathématiciens. C’est le cas, en particulier, du Français Cédric Villani, médaille Fields en 2010 pour ses travaux sur le sujet. Il a décrit mathématiquement la manière dont un gaz ou un plasma, perturbé, finit par s’auto-stabiliser pour revenir à l’équilibre. Ses recherches ont permis de quantifier avec précision cette « relaxation » vers l’état de repos, consolidant la structure interne de l’équation.
Cependant, un chaînon manquait dans tous ces travaux : prouver que l’équation de Boltzmann dérive bien des lois de Newton sur de longues durées. C’est la prouesse récente de trois mathématiciens américains, Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma, qui a été saluée par tous les spécialistes comme un vrai tour de force avec une démonstration d’environ deux cent pages ! Ils ont démontré que le chaos moléculaire persiste bien au-delà des échelles de temps explorées jusqu’ici. Désormais, l’intuition de Boltzmann est une certitude mathématique.
