Un problema vecchio di 125 anni — e la promessa di un gigante
Nel 1900 David Hilbert sale sul palco del Congresso internazionale dei matematici di Parigi e lancia una sfida a un’intera disciplina: presenta 23 problemi aperti che, a suo avviso, plasmeranno la matematica del secolo a venire. Il sesto non è una congettura sui numeri primi né una questione di geometria astratta. È qualcosa di più ambizioso, quasi filosofico: si possono formulare le leggi fondamentali della fisica con lo stesso rigore di un teorema matematico? E, in particolare, si può dimostrare in modo ineccepibile che il comportamento collettivo delle molecole di un gas obbedisce davvero alle equazioni usate dai fisici da decenni?
Centoventicinque anni dopo, Yu Deng, professore all’Università di Chicago, ha dato una risposta decisiva a questa sfida — almeno per la parte centrale del programma. Insieme a Zaher Hani e Xiao Ma, entrambi dell’Università del Michigan, ha pubblicato nell’agosto 2024 un preprint su arXiv che ha elettrizzato la comunità matematica. Poi, nel marzo 2025, il trio ha rafforzato il risultato con un secondo articolo. Come riporta DongA Science, questi due lavori sono ormai salutati come un’importante svolta nel cuore del sesto problema di Hilbert.
Tre modi di osservare lo stesso gas
Per capire che cosa abbiano dimostrato Deng e i suoi collaboratori, bisogna anzitutto accettare un’idea un po’ sconcertante: lo stesso gas può essere descritto con equazioni completamente diverse, a seconda della scala alla quale lo si osserva.
Massimo ingrandimento: ogni molecola è una piccola sfera che rimbalza sulle vicine secondo le leggi di Newton. Posizione, velocità, traiettoria — tutto è deterministico. In linea di principio, se conosceste lo stato esatto di ogni molecola nell’istante iniziale, potreste calcolare lo stato futuro del sistema. In pratica, un litro d’aria contiene circa 27 miliardi di miliardi di molecole. Inutile dire che il metodo diretto è fuori portata.
Ingrandimento intermedio: si rinuncia all’idea di seguire ogni molecola singolarmente. Ci si interessa alla distribuzione delle velocità — quante molecole si muovono più o meno in una certa direzione e a una certa velocità. È l’oggetto dell’equazione di Boltzmann, formulata da Ludwig Boltzmann alla fine del XIX secolo. Questa equazione descrive come la distribuzione evolva nel tempo sotto l’effetto degli urti. È irreversibile: prevede che il gas tenda all’equilibrio, che il disordine aumenti. È una versione matematica della freccia del tempo.
Massimo allontanamento: il gas viene trattato come un fluido continuo, descritto dalla sua densità, dalla sua velocità media e dalla sua pressione. Si giunge alle equazioni di Navier-Stokes, quelle che governano l’aerodinamica, la meteorologia e il flusso del sangue nelle arterie.
Il programma di Hilbert chiedeva di collegare rigorosamente questi tre livelli: dimostrare che le equazioni del livello superiore derivano, matematicamente, da quelle del livello inferiore. La catena da stabilire: Newton → Boltzmann → Navier-Stokes.
L’ostacolo che Lanford non riuscì a superare
Nel 1975 il matematico statunitense Oscar Lanford compì un primo passo: dimostrò che l’equazione di Boltzmann può effettivamente essere derivata dalle leggi newtoniane. Vittoria? Non proprio. Come Lanford stesso scrive nel suo articolo fondamentale del 1976, il risultato vale soltanto per tempi inferiori a circa un quinto del tempo libero medio — il tempo tipico tra due urti. In fisica, è un battito di ciglia. Troppo poco per descrivere qualcosa di interessante.
Perché questo blocco? A causa delle ricollisioni. L’equazione di Boltzmann si fonda su un’ipotesi cruciale: le molecole che si incontrano sono statisticamente indipendenti — non hanno una «storia comune». Su intervalli di tempo molto brevi è ragionevole: due molecole che si sono appena incontrate hanno poche probabilità di rivedersi. Ma lasciate trascorrere il tempo e le stesse particelle finiscono per incontrarsi di nuovo, portando con sé la memoria delle interazioni passate. Le correlazioni si accumulano, l’ipotesi di indipendenza crolla e con essa la dimostrazione.
Per cinquant’anni i matematici si sono scontrati con questo muro.
Ordinare una biblioteca infinita di scenari di collisione
La strategia di Deng, Hani e Ma è, in linea di principio, quasi elegante: se le ricollisioni sono il problema, bisogna classificarle e contarle. Non ignorarle — domarle.
Gli autori stessi descrivono nelle loro note esplicative il cuore della dimostrazione come «un algoritmo di suddivisione puramente combinatorio». Immaginate che ogni storia di collisioni tra particelle formi un grafo — un albero di incontri. La dimostrazione trasforma il problema fisico in un problema di conteggio di questi grafi. Si classificano gli scenari, si scartano quelli che contengono troppe ricollisioni (sono rari) e, per gli altri, se ne stima con precisione la probabilità di occorrenza. Il risultato è che si può mostrare che i contributi degli scenari problematici sono trascurabili e che l’equazione di Boltzmann resta valida — non più soltanto per un battito di ciglia, ma per tempi arbitrariamente lunghi, purché la soluzione dell’equazione di Boltzmann rimanga regolare.
Questo approccio combinatorio non è nato dal nulla. Deng e Hani avevano sviluppato metodi analoghi in un contesto molto diverso: lo studio della turbolenza delle onde. Come racconta Quanta Magazine, il trio ha adattato questi strumenti al mondo delle particelle — una traslazione concettuale che costituisce di per sé un importante contributo metodologico.
Il primo articolo, ormai annunciato come «di prossima pubblicazione» negli Annals of Mathematics — la più prestigiosa rivista matematica del mondo —, tratta il caso di un gas nello spazio infinito. Il secondo, disponibile su arXiv, estende la dimostrazione a un gas confinato in una scatola (tecnicamente, un toro in due e tre dimensioni) e completa la catena fino alle equazioni di Navier-Stokes ed Eulero. Gli autori vi scrivono esplicitamente: «Questo risolve il sesto problema di Hilbert nell’ambito di questo programma.»
Una riserva va formulata. Come sottolinea un commento critico di Shan Gao sul PhilSci-Archive, la dimostrazione opera nel cosiddetto regime di Boltzmann-Grad, nel quale le particelle diventano sempre più piccole e sempre più numerose, ma la frazione di spazio che occupano tende a zero. Questo regime corrisponde a un gas molto rarefatto — non a un fluido denso. La questione se il sesto problema di Hilbert, nel suo senso più generale, sia stato risolto resta aperta, secondo questo commento. Il risultato matematico è solido nel suo ambito; la sua interpretazione fisica universale lo è meno.
Un paradosso nel cuore della dimostrazione
C’è qualcosa di filosoficamente vertiginoso in ciò che Deng, Hani e Ma hanno realizzato. Le leggi di Newton sono reversibili: se filmaste il moto di tutte le molecole e mandaste il video all’indietro, il film sarebbe fisicamente lecito. L’equazione di Boltzmann, invece, è irreversibile: prevede che l’entropia aumenti, che il disordine cresca, che non si torni indietro. Come può un’equazione irreversibile emergere da dinamiche perfettamente reversibili?
La risposta sta nel cambio di scala e nell’ipotesi statistica sulle correlazioni iniziali. Non è la fisica a diventare irreversibile — è la nostra descrizione del sistema, man mano che perdiamo informazioni sulle correlazioni individuali. La freccia del tempo non è nelle equazioni di Newton; nasce dal passaggio allo sguardo statistico. Come osserva Laure Saint-Raymond, in una conferenza dedicata a questa sfida, «la teoria di Boltzmann fu controversa perché sembrava condurre a paradossi sulla reversibilità del moto».
Deng e i suoi collaboratori non hanno risolto questo paradosso filosofico — ma hanno mostrato, con un rigore che Hilbert stesso avrebbe apprezzato, che la transizione matematica tra i due regimi è controllabile, quantificabile e valida su intervalli di tempo fisicamente significativi.
Il matematico schivo che gioca a go
Yu Deng ha 37 anni. È cresciuto a Shenzhen, ha rappresentato la Cina alle Olimpiadi internazionali di matematica del 2006 (medaglia d’oro), ha ottenuto il titolo di Putnam Fellow nella competizione universitaria nordamericana del 2010 e ha conseguito il dottorato a Princeton nel 2015. Chi lo conosce lo descrive come straordinariamente schivo. Rha Junhyun, professore al Korea Institute for Advanced Study, dichiara a DongA Science: «È difficile credere che una persona così calma sia l’autore del risultato più importante della nostra epoca.» Fuori dalla matematica, Deng gioca a go, legge manga e apprezza la poesia del poeta della dinastia Tang Li Shangyin.
La sua candidatura alla Medaglia Fields 2026 — i cui vincitori saranno annunciati al Congresso internazionale dei matematici di Filadelfia, dal 23 al 30 luglio 2026 — è considerata molto seria. Il matematico Alexandru Ionescu di Princeton definisce i lavori di Deng «progressi tra i più significativi da moltissimi anni». I premi si accumulano: medaglia d’oro dell’ICCM, Clay Research Award, premio Leonard Eisenbud dell’American Mathematical Society. È stato inoltre invitato a tenere una conferenza all’ICM 2026 — un segnale forte nella comunità.
Gli articoli sono ancora in fase di verifica e di pubblicazione formale. La scienza avanza così: lentamente, minuziosamente, con la pazienza di un giocatore di go che calcola le proprie mosse molte decine di mosse in anticipo.
