¿Qué podemos saber de una imagen si solo podemos ver una porción muy pequeña cada vez? Una imagen digital suele representarse mediante una matriz de píxeles, cada uno de los cuales tiene un color. Para asegurarnos de que la imagen sea bastante grande, la imaginaremos aquí infinita. Parece sorprendente poder deducir entonces algo sobre esa imagen infinita viendo cada vez solo una parte finita. Sin embargo, la conjetura de Nivat afirma que es posible deducir que esta imagen es periódica si no contiene demasiados «pequeños fragmentos» diferentes.
Un breve rodeo por el caso lineal ----------------------------
Antes de ocuparnos del caso de una imagen infinita —de dimensión 2—, puede resultar interesante estudiar el caso de una línea infinita —de dimensión 1—. Consideremos, pues, un conjunto finito A de colores —o letras—, también llamado alfabeto, que se utiliza para colorear todas las casillas de una línea infinita. Una línea así se llama periódica y de período m si, al trasladarla m casillas, obtenemos la misma línea: se repite indefinidamente.
Imaginemos que solo podemos observar esta línea a través de una ventana de anchura fija n. El número de motivos de tamaño n que aparecen en la línea se llama la complejidad de la línea; se denota por P(n).

Ejemplo de coloreado de una línea infinita.

En total hay cinco motivos de tamaño 3 y, por tanto, P(3) = 5.

Si una línea es periódica de período n, entonces P(n) ≤ n. Los matemáticos estadounidenses Harold Calvin Marston Morse (1892-1977) y Gustav Arnold Hedlund (1904-1993) demostraron en 1938 que se trata en realidad de una caracterización de la periodicidad: una línea es periódica si y solo si existe un número entero n tal que P(n) ≤ n. La demostración del teorema de Morse-Hedlund es bastante elemental y permite revisar un clásico: el razonamiento por inducción (véase el recuadro).

Ejemplo de coloreado periódico de una línea.

Motivos de tamaño 3: tenemos P(3) = 3. Además, para todo n mayor que 3, se tiene P(n ) = 3.

En dos dimensiones ----------------------
Volvamos a nuestra imagen inicial. En lugar de una línea, tenemos ahora una cuadrícula infinita, también coloreada mediante un alfabeto finito A; a un coloreado así se le llama configuración. Hablamos ahora de periodicidad según un vector u⃗\vec{u} —y ya no según un simple número— cuando la configuración coincide con su traslación por el vector u⃗\vec{u}.
Una configuración periódica respecto de (1, 3) y (4, 0).
Un motivo es ahora una porción rectangular de una configuración de tamaño m × n, y la complejidad de una configuración es el número de rectángulos distintos de este tipo que se pueden observar en ella a través de esta «ventana» de tamaño m × n. La complejidad se denota por P(m, n). Como en el caso de la línea, nos gustaría obtener una caracterización de la periodicidad de una configuración en función de su complejidad. El análogo de la condición P(n) ≤ n sería P(m, n) ≤ mn, pues mn representa el área del rectángulo observado.
Por desgracia, es imposible obtener una caracterización similar a la de Morse y Hedlund: existe, por ejemplo, una configuración periódica cuya complejidad es P(m, n) = 2 *m *+ *n *+ 1.
El otro sentido de la caracterización es objeto de una conjetura, formulada en 1997 por Maurice Nivat (1937-2017) y que hoy lleva su nombre: toda configuración para la que existan dos números enteros m y n tales que P(m, n) ≤ mn, llamada de baja complejidad, debe ser periódica. Además, esta cota es óptima, pues existen configuraciones no periódicas de complejidad mn + 1.
Toda ventana de tamaño mn deja ver mn motivos distintos con una celda negra —en cada una de las celdas del rectángulo—, además de un motivo completamente blanco, de donde resulta una complejidad de mn + 1. La configuración no es periódica: toda traslación desplaza la celda negra a una posición diferente.
¿Y en dimensión 3? -----------------------
Un enunciado similar al teorema de Morse-Hedlund es verdadero en dimensión 1 y es una conjetura en dimensión 2. ¿Y en dimensión 3? ¡Es falso!
En 3D, una configuración es de baja complejidad respecto de un paralelepípedo de tamaño mnk si su complejidad P(m, n, k) es menor o igual a mnk. Entonces es posible construir una configuración 3D de baja complejidad que no es periódica: fijemos un número entero n y consideremos la configuración enteramente blanca, salvo dos líneas infinitas perpendiculares separadas por n celdas.
Para empezar, no es periódica, pues toda traslación desplazará al menos una de las dos líneas. Además, su complejidad respecto de un cubo de lado n es P(n, n, n) = 2*n 2 + 1, ya que el cubo interseca como máximo una línea. Para n ≥ 3, tendremos P(n, n, n) < *n 3; por tanto, es una configuración de baja complejidad.
El álgebra polinómica al rescate ------------------------------------------
La demostración completa de la conjetura de Nivat todavía se resiste a los embates de los matemáticos. Como ocurre a menudo, se han logrado avances considerables cuando este problema se ha relacionado con otro ámbito a priori sin relación alguna: el álgebra polinómica. Este vínculo, tan sorprendente como fructífero, fue puesto de manifiesto por Jarkko Kari y Michal Szabados en 2015.
Para comprenderlo, empecemos por ver cómo puede representarse un motivo finito mediante un polinomio. El primer paso consiste en considerar un alfabeto A formado por números —incluidos, por ejemplo, en el conjunto de los números enteros—. Un motivo p es un coloreado —un «etiquetado»— de un rectángulo m × n mediante elementos de A; el color —en realidad, el número— presente en la posición (i, j) se denota por *pi*, *j*. El polinomio que representa este motivo es entonces el siguiente:
Q(x,y)=p1,1xy+p2,1x2y+p1,2xy2+...=∑i=1m∑j=1npi,jxiyj.\text{Q}(x, y) = p_{1,1}xy + p_{2,1}x^2y + p_{1,2}xy^2 + ... = \sum^m_{i=1} \sum^n_{j=1} p_{i, j} x^{i}y^{j}.
¡Ahora podemos estudiar los motivos desde un punto de vista puramente algebraico analizando estos polinomios!
Las posiciones de los distintos monomios en un motivo de 3 × 2.
El motivo representado por 3xy + xy 2 + 2x 2 y + 3x 2 y 2 + x 3 y + 2x 2 y 2.
Generalizando esta idea, podemos representar las configuraciones como «polinomios infinitos» —llamados series formales— cuyos coeficientes son los números presentes en las celdas de la configuración. Kari y Szabados demostraron que los polinomios cuyo producto por una serie es 0 son especialmente importantes; se llaman polinomios anuladores (véase el recuadro).
Al comprender mejor qué forma pueden adoptar los polinomios anuladores, Kari y Szabados consiguen demostrar varios resultados nuevos.
Para empezar, toda configuración c de baja complejidad puede escribirse como suma de configuraciones periódicas c1, c2… *cr , que, sin embargo, pueden tener un alfabeto infinito: c = c*1 + c2 +… + *cr *.
También consiguen demostrar una versión asintótica de la conjetura de Nivat: si P(m, n) ≤ mn para una infinidad de números enteros m y n, entonces la configuración es periódica.
Por último, al combinar su enfoque algebraico con herramientas desarrolladas por Van Cyr y Bryna Kra, consiguen demostrar que, si una configuración es suma de solo dos configuraciones periódicas, entonces satisface la conjetura de Nivat.
En la tesis Autour du problème du domino – Structures combinatoires et outils algébriques, estas herramientas algebraicas se desarrollan aún más para obtener nuevos resultados que se acercan a la conjetura de Nivat. Una parte del trabajo se ha centrado en las configuraciones uniformemente recurrentes, es decir, las que no contienen patrones aislados.
Eliminar las direcciones problemáticas --------------------------------------
Las técnicas desarrolladas por Cyr y Kra se basan en la noción de determinismo de un conjunto X de configuraciones. Se dice que X es determinista en una dirección u→∈Z2\overrightarrow{u} \in \mathbb{Z}^2 si, cuando dos configuraciones de X son iguales en un semiplano de esa dirección, son iguales en todas partes.
Dicho de otro modo, los valores de las configuraciones en un semiplano en la dirección u⃗\vec{u} determinan por completo cada configuración.
Un semiplano de dirección u⃗\vec{u} = ( – 1,2 ). Si como máximo una configuración de X toma unos valores dados en este semiplano, entonces X es determinista en la dirección u⃗\vec{u}.
Maurice Paul Nivat (1937–2017).
Toda dirección es, por tanto, determinista o no determinista. El último caso que seguía abierto tras los trabajos de Cyr y Kra es el de las direcciones u⃗\vec{u} para las que X es determinista en la dirección u⃗\vec{u}, pero no determinista en la dirección −u⃗-\vec{u}. Uno de los resultados más importantes de la tesis demuestra que, en el caso de las configuraciones uniformemente recurrentes, estas direcciones problemáticas pueden, de hecho, «eliminarse». Esto permite demostrar que la conjetura de Nivat es cierta para las configuraciones uniformemente recurrentes.
¿Uniformemente qué? -----------------------
A partir de una configuración c, es posible construir su órbita O (c), que contiene las traslaciones de c por todo vector u⃗\vec{u} de Z2\mathbb{Z}^2. Después, al tomar la clausura O(c)‾\overline{O(c)} de la órbita, se obtiene un conjunto que contiene todas las traslaciones de c, así como las configuraciones límite de dichas traslaciones. Una configuración es uniformemente recurrente si, para toda configuración c’ de O(c)‾\overline{O(c)}, se tiene O(c′)‾=O(c)‾.\overline{O(c')} = \overline{O(c)} . Dicho de otro modo, no se pueden «borrar» patrones de c al trasladarla, ni siquiera mediante una traslación al infinito.
El resultado preciso obtenido en la tesis junto con Jarkko Kari demuestra que, para toda configuración de baja complejidad, O(c)‾\overline{O(c)} contiene una configuración periódica d. Nótese que, si la conjetura de Nivat es cierta, toda configuración de O(c)‾\overline{O(c)} es periódica.
Puesto que d es periódica, O(d)‾\overline{O(d)} solo contiene configuraciones periódicas. Ahora bien, como c es uniformemente recurrente, O(d)‾=O(c)‾,\overline{O(d)} = \overline{O(c)}, y, por tanto, todas las configuraciones de O(c)‾\overline{O(c)} son periódicas, incluida c misma.
Por tanto, lo último que queda por hacer para demostrar la conjetura de Nivat es estudiar el caso de las configuraciones no uniformemente recurrentes. Pero siguen siendo poco conocidas, lo que hace que la conjetura continúe siendo, por el momento, inaccesible.