La teoría del control óptimo puede entenderse como la unión de dos disciplinas matemáticas. Por una parte, la teoría del control, que analiza las propiedades de los sistemas sobre los que se puede actuar mediante un mando (o control). El objetivo es llevar el sistema de un estado inicial dado a un determinado estado final, respetando en su caso ciertos criterios (o restricciones). Por otra parte, la teoría de la optimización, cuyo objetivo es buscar, entre un conjunto de soluciones, la mejor o las mejores según un determinado criterio de optimización que se fija.
En nuestra vida cotidiana resolvemos constantemente problemas de control óptimo. Una persona que va al trabajo en coche tratará de minimizar el tiempo de trayecto, sujeto a ciertas restricciones que se haya impuesto (desviarse para ir al supermercado, pasar antes por casa de un amigo…). Aquí, el sistema es la persona con su vehículo; la dinámica se obtiene aplicando las leyes de Newton, y el control viene dado por el conjunto de acciones que la persona puede realizar sobre el vehículo (adaptar la velocidad, modificar la trayectoria…).
Desplazar un barco… -------------------
La tesis se ocupa de los problemas de tipo Zermelo sobre superficies de revolución (por ejemplo, la esfera euclídea habitual S²). Se trata de una clase particular de problemas de control óptimo. Desde el punto de vista del control óptimo, se estudian combinando métodos geométricos y numéricos.
El problema histórico de Zermelo, planteado en 1931 por el matemático alemán Ernst Zermelo, consiste en buscar la ruta que permita desplazar un barco entre dos orillas en un tiempo mínimo, bajo la influencia de la corriente del río y controlado mediante su ángulo de rumbo. Desde entonces, la cuestión se ha generalizado a dimensiones mayores, a espacios geométricos más sofisticados y a formas más generales de corrientes. Los problemas de tipo Zermelo son entonces el conjunto de formulaciones que, matemáticamente, se escriben de la misma forma que el problema histórico. Se estudiaron ampliamente durante el 20.º siglo y, en particular, motivaron el desarrollo de la geometría finsleriana, que considera problemas de tipo Zermelo sobre «variedades riemannianas» (pero únicamente para corrientes denominadas «débiles»).