Contrôle optimal et problèmes de Zermelo | Tangente

La théorie du contrôle optimal peut être vue comme la réunion de deux disciplines mathématiques. D’une part, la théorie du contrôle, qui analyse les propriétés des systèmes sur lesquelles on peut agir au moyen d’une commande (ou contrôle). Le but est d’amener le système d’un état initial donné à un certain état final, en respectant éventuellement certains critères (ou contraintes). D’autre part, la théorie de l’optimisation, dont l’objectif est de rechercher parmi un ensemble de solutions, la ou les meilleures suivant un certain critère d’optimisation que l’on se fixe.

Constamment, dans notre quotidien, nous résolvons des problèmes de contrôle optimal. Une personne qui se rend au travail en voiture essayera de minimiser son temps de trajet, sous certaines contraintes qu’elle se sera fixées (faire un détour par le supermarché, passer chez un ami avant…). Le système ici est la personne avec son véhicule, la dynamique est obtenue par l’application des lois de Newton, le contrôle est donné par l’ensemble des actions que peut entreprendre la personne sur son véhicule (adapter la vitesse, modifier la trajectoire…).

La thèse s’intéresse aux problèmes de type Zermelo sur les surfaces de révolution (la sphère euclidienne usuelle S² par exemple). Il s’agit d’une classe particulière de problèmes de contrôle optimal. Leur étude se fait, du point de vue du contrôle optimal, en combinant des méthodes géométriques et numériques.

Le problème historique de Zermelo, énoncé en 1931 par le mathématicien allemand Ernst Zermelo, consiste à rechercher le chemin permettant de déplacer, en temps minimal, entre deux rives, un bateau sous l’influence du courant de la rivière et contrôlé grâce à son angle de cap. La question a été depuis généralisée en dimension plus grande, sur un espace géométrique plus sophistiqué et pour des formes de courants plus générales. Les problèmes de type Zermelo constituent alors l’ensemble des formulations qui, mathématiquement, s’écrivent sous la même forme que le problème historique. Ces derniers ont été longuement étudiés au cours du xx ^e siècle et ont notamment motivé le développement de la géométrie finslérienne, qui considère des problèmes de type Zermelo sur des « variétés riemanniennes » (mais uniquement pour des courants dits « faibles »).