La teoria del controllo ottimo può essere considerata come l’unione di due discipline matematiche. Da una parte, la teoria del controllo, che analizza le proprietà dei sistemi sui quali si può agire mediante un comando (o controllo). Lo scopo è portare il sistema da uno stato iniziale assegnato a un certo stato finale, rispettando all’occorrenza alcuni criteri (o vincoli). Dall’altra, la teoria dell’ottimizzazione, il cui obiettivo è cercare, in un insieme di soluzioni, quella o quelle migliori secondo un dato criterio di ottimizzazione.
Ogni giorno risolviamo problemi di controllo ottimo. Una persona che va al lavoro in auto cercherà di minimizzare il tempo di percorrenza, nel rispetto di alcuni vincoli che si sarà imposta (fare una deviazione al supermercato, passare prima da un amico…). In questo caso il sistema è la persona con il suo veicolo, la dinamica si ottiene applicando le leggi di Newton, il controllo è dato dall’insieme delle azioni che la persona può compiere sul proprio veicolo (adattare la velocità, modificare la traiettoria…).
Spostare una barca… -------------------
La tesi si occupa dei problemi di tipo Zermelo sulle superfici di rivoluzione (per esempio la consueta sfera euclidea S²). Si tratta di una particolare classe di problemi di controllo ottimo. Dal punto di vista del controllo ottimo, il loro studio combina metodi geometrici e numerici.
Il problema storico di Zermelo, formulato nel 1931 dal matematico tedesco Ernst Zermelo, consiste nel cercare il percorso che permetta di spostare una barca da una riva all’altra nel minor tempo possibile, sotto l’influenza della corrente del fiume e controllandone l’angolo di rotta. Da allora la questione è stata generalizzata a dimensioni maggiori, a uno spazio geometrico più sofisticato e a forme più generali di corrente. I problemi di tipo Zermelo comprendono quindi tutte le formulazioni che, dal punto di vista matematico, si scrivono nella stessa forma del problema storico. Sono stati studiati a lungo nel corso del 20º secolo e hanno in particolare motivato lo sviluppo della geometria finsleriana, che considera problemi di tipo Zermelo su «varietà riemanniane» (ma solo per correnti dette «deboli»).