¿Quién tiene (realmente) el poder en el Parlamento?

En el país de Democristán, el Parlamento está formado por noventa y nueve diputados. Para aprobarse, una ley debe reunir la mayoría de los votos y, por tanto, contar con la aprobación de al menos cincuenta diputados. Resulta que solo hay tres partidos con representación: el partido A tiene cuarenta y nueve escaños, el partido B también tiene cuarenta y nueve, y el partido C, uno solo. Supongamos que los diputados son disciplinados y que todos votan del mismo modo dentro de cada partido. Ni A, ni B ni C tienen por sí solos mayoría absoluta, pero toda coalición de dos partidos resulta ganadora. En esta configuración, los tres partidos son intercambiables y, por tanto, tienen el mismo poder… ¡con números de escaños muy diferentes!

Ganar perdiendo -----------------

Se celebran nuevas elecciones y otros dos partidos se presentan ante los electores. Los resultados otorgan cuarenta escaños al partido A, cuarenta a B, ocho a C, seis a D y cinco a E. La coalición {A, B} sigue siendo ganadora, pero {A, C} y {B, C} ya no lo son. Para los dos «grandes» partidos A y B, una alianza únicamente con C ya no basta para formar una coalición ganadora: la presencia de D o E se ha vuelto necesaria; por tanto, C tiene menos poder que antes. Así, los partidos A y B, que han perdido escaños, han conservado el mismo poder, ¡mientras que el partido C, que ha ganado escaños, lo ha perdido!

El ejemplo (simplificado) de Democristán muestra que no basta con el número de diputados de un partido para determinar su poder. Para aproximarse mejor a esta noción de poder, la teoría de juegos ha desarrollado varios «índices».

Para definir «índices de poder» generales, se considera una situación en la que n individuos, dotados respectivamente de los pesos w₁, w₂… *w_n , participan en un proceso de votación por mayoría simple. Una coalición es entonces un conjunto de individuos, y esta coalición es ganadora* si la suma de los pesos de los individuos que la componen supera la mitad de la suma total de los pesos. En el contexto del Parlamento, los individuos son partidos y los pesos corresponden al número de diputados de cada partido.

En 1965, John Banzhaf, un jurista estadounidense comprometido con la equidad y la justicia, propuso un índice de poder muy elemental. Utiliza la noción de «individuo decisivo». Dentro de una coalición ganadora, un individuo es decisivo si la coalición deja de ser ganadora sin él. El índice de Banzhaf de un individuo consiste en contar el número de coaliciones ganadoras en las que ese individuo es decisivo. Su índice de Banzhaf normalizado se obtiene dividiendo su índice de Banzhaf por la suma de los índices de Banzhaf de todos los individuos, de modo que la suma de los índices normalizados de todos los individuos vale 1.

En la configuración inicial de Democristán, el partido A es decisivo en las dos coaliciones {A, B} y {A, C}; por tanto, su índice de Banzhaf normalizado es igual a 1/3, al igual que los de B y C: los tres partidos tienen el mismo índice de poder. Tras las elecciones, el índice de poder de A —como el de B, por cierto— es igual a 2 / 7, y los de C, D y E son iguales a 1/ 7: el poder de A y B ha disminuido, pues, ligeramente. El de C, en cambio, ha disminuido mucho, aunque tenga más diputados que antes.

Existen otros índices de poder. En 1954, Lloyd Shapley y Martin Shubik, entonces en la Universidad de Princeton (Estados Unidos, Nueva Jersey), ya habían propuesto uno que permite calcular el poder de un individuo dentro de una coalición. Se consideran todas las permutaciones de los candidatos. Si, por ejemplo, son 3, A, B y C, hay 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. En general, hay n! = 1 2 … n. Para cada una de ellas, se suman sucesivamente y en orden los pesos de los individuos de la permutación, hasta superar estrictamente la mitad de la suma de los pesos (es decir, hasta que los primeros términos de la permutación constituyan una coalición ganadora). El individuo que ha permitido alcanzar ese resultado es el elemento decisivo de la permutación. El índice de Shapley–Shubik de un individuo es el número de permutaciones en las que es decisivo, dividido por el número total de permutaciones, es decir, n!. Esto permite normalizar el índice de modo que la suma de todos los índices de Shapley–Shubik sea igual a 1.

Volvamos a Democristán: con solo tres partidos, la situación es simétrica y cada uno es decisivo en dos de las seis permutaciones posibles; por tanto, los índices de Shapley–Shubik de A, B y C son idénticos e iguales a 1/3. Tras las elecciones, hay que examinar las ciento veinte permutaciones posibles de los cinco grupos parlamentarios: A es decisivo en treinta y seis casos, B también, y C, D y E son decisivos en dieciséis casos cada uno. Los índices de Shapley–Shubik valen, por tanto, 9/30 para A y B y 4/30 para C, D y E.

Las propiedades matemáticas del poder -------------------------------------------

En un artículo publicado en 2003 (la Mesure du pouvoir de vote, Mathématiques et Sciences humaines 163), Nicolas-Gabriel Andjiga, Frédéric Chantreuil y Dominique Lepelley enumeran cerca de una decena de índices de poder diferentes y muestran que todos pueden formalizarse de manera genérica contando el número de coaliciones en las que un individuo es decisivo y asignando a todas esas coaliciones un peso específico (véase el recuadro).

El estudio de los índices de poder permite determinar algunas propiedades técnicas. Si un individuo a tiene un peso mayor que b, su poder no puede ser inferior al de b (propiedad de monotonía). Si a cede una parte de su peso a b, el poder de a no puede aumentar (propiedad de transferencia). Si a y b forman un bloque, es decir, se comportan como un individuo cuyo peso total es igual a la suma de los pesos de a y b, el poder de ese bloque debe ser al menos tan importante como la suma de los índices de poder de a y b (propiedad de bloque).

Los índices de Banzhaf y de Shapley–Shubik satisfacen estas tres propiedades. Sorprendentemente, el índice de Banzhaf normalizado solo satisface la monotonía.

El cumplimiento de estas propiedades permite evitar situaciones paradójicas: el incumplimiento de una de ellas corresponde a una situación en la que dar más peso a un individuo le otorga menos poder. Dicho de otro modo, a veces sería mejor no ganar las elecciones… En realidad, en teoría de juegos, el poder real de un individuo no es exactamente igual a su peso; por tanto, no resulta sorprendente que, a veces, algunas situaciones de poder parezcan matemáticamente paradójicas.

En el Parlamento Europeo ---------------------

Dejemos Democristán y examinemos el poder de los distintos grupos en el Parlamento Europeo elegido en mayo de 2019, en un momento en que la situación de Gran Bretaña respecto de su pertenencia a la Unión Europea era bastante imprecisa. Se cuentan siete grupos constituidos: Grupo del Partido Popular Europeo (PPE); Alianza Progresista de Socialistas y Demócratas (S&D); Alianza de los Demócratas y Liberales por Europa (ADLE), rebautizada desde entonces como Renew Europe; Grupo de los Verdes/Alianza Libre Europea (Verdes/ALE); Grupo Europa de las Naciones y de las Libertades (ENL); Conservadores y Reformistas Europeos (CRE); Izquierda Unitaria Europea/Izquierda Verde Nórdica (GUE/NGL). Entre los no inscritos aún pueden constituirse dos grupos coherentes: el Partido del Brexit y el Movimiento 5 Estrellas. Hay, por tanto, diez grupos diferentes en total, considerando impropiamente que los diputados no inscritos votan de forma idéntica.

El cálculo del índice de Banzhaf normalizado de cada uno de los grupos parlamentarios se realiza recorriendo los 2¹⁰ = 1 024 subconjuntos posibles y observando, para cada uno, los grupos decisivos. El cálculo del índice de Shapley–Shubik se realiza recorriendo las 10! = 3 628 800 permutaciones diferentes y anotando, para cada una, cuál es el grupo decisivo.

e índices normalizados de Shapley–Shubik y de Banzhaf.

con los porcentajes de escaños que posee cada partido.

El análisis de estos resultados (véase la tabla) muestra que los «grandes» partidos PPE y S&D tienen en el Parlamento un poder mayor de lo que hacían pensar sus respectivos números de escaños. Por el contrario, los «pequeños» partidos, como los Verdes o ENL, tienen menos poder que el que les corresponde por su peso en el Parlamento. Los dos índices, sin ser estrictamente idénticos, no están «muy alejados» entre sí y reflejan una misma realidad: en un contexto de fragmentación de los partidos, el poder de los «grandes» se refuerza —en relación con los «pequeños»— porque son más necesarios para formar coaliciones ganadoras. Lo cual demuestra que no basta con dominar el arte de la campaña electoral para ganar las elecciones: también hay que sentirse cómodo con la teoría de juegos…