Chi ha (davvero) il potere al Parlamento?

Nel paese di Démocristan, il Parlamento è composto da novantanove deputati. Per essere approvata, una legge deve raccogliere la maggioranza dei voti ed essere quindi votata da almeno cinquanta deputati. Vi siedono soltanto tre partiti: il partito A ha quarantanove seggi, anche il partito B ne ha quarantanove e il partito C uno solo. Supponiamo che i deputati siano disciplinati e che votino tutti allo stesso modo all’interno di ciascun partito. Né A, né B, né C hanno da soli la maggioranza assoluta, ma ogni coalizione di due partiti è vincente. In questa configurazione, i tre partiti sono intercambiabili e hanno dunque lo stesso potere… pur avendo un numero di seggi molto diverso!

Chi perde guadagna -----------------

Si tengono nuove elezioni e altri due partiti si presentano agli elettori. I risultati assegnano quaranta seggi al partito A, quaranta a B, otto a C, sei a D e cinque a E. La coalizione {A, B} è ancora vincente, ma {A, C} e {B, C} non lo sono più. Per i due «grandi» partiti A e B, un’alleanza con il solo partito C non basta più a formare una coalizione vincente: la presenza di D o di E è diventata necessaria; C ha dunque meno potere di prima. Così i partiti A e B, che hanno perso seggi, hanno conservato lo stesso potere, mentre il partito C, che ha guadagnato seggi, ha perso potere!

L’esempio (semplificato) di Démocristan mostra che non ci si può limitare al numero di deputati di un partito per determinarne il potere. Per cogliere al meglio questa nozione di potere, nella teoria dei giochi sono stati sviluppati diversi «indici».

Per definire «indici di potere» generali, si considera una situazione in cui n individui, dotati rispettivamente dei pesi w₁, w₂… *w_n , partecipano a un processo di voto a maggioranza semplice. Una coalizione è allora un insieme di individui, e questa coalizione è vincente* se la somma dei pesi degli individui che la compongono supera la metà della somma totale dei pesi. Nel contesto del Parlamento, gli individui sono partiti e i pesi corrispondono al numero di deputati di ciascun partito.

Nel 1965 John Banzhaf, giurista statunitense attento alle nozioni di equità e giustizia, propose un indice di potere molto elementare. Esso usa la nozione di «individuo decisivo». All’interno di una coalizione vincente, un individuo è decisivo se senza di lui la coalizione non è più vincente. L’indice di Banzhaf di un individuo consiste nel contare le coalizioni vincenti nelle quali quell’individuo è decisivo. Il suo indice di Banzhaf normalizzato si ottiene dividendo il suo indice di Banzhaf per la somma degli indici di Banzhaf di tutti gli individui, in modo che la somma degli indici normalizzati di tutti gli individui sia pari a 1.

Nella configurazione iniziale di Démocristan, il partito A è decisivo nelle due coalizioni {A, B} e {A, C}; il suo indice di Banzhaf normalizzato è quindi pari a 1/3, proprio come quelli di B e C: i tre partiti hanno lo stesso indice di potere. Dopo le elezioni, l’indice di potere di A (come del resto quello di B) è pari a 2/7, mentre quelli di C, D ed E sono pari a 1/7: il potere di A e B è dunque leggermente diminuito. Quello di C, invece, è molto diminuito, anche se ha più deputati di prima.

Sono possibili altri indici di potere. Nel 1954 Lloyd Shapley e Martin Shubik, allora all’università di Princeton (New Jersey, Stati Uniti), ne avevano già proposto uno che permette di calcolare il potere di un individuo all’interno di una coalizione. Si considerano tutte le permutazioni dei candidati. Se, per esempio, sono 3, A, B e C, le permutazioni sono 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. In generale, sono n! = 1 2 … n. Per ciascuna di esse, si sommano successivamente e nell’ordine i pesi degli individui della permutazione, fino a superare strettamente la metà della somma dei pesi (ossia i primi termini della permutazione corrispondono a una coalizione vincente). L’individuo che consente di raggiungere questo risultato è l’elemento decisivo della permutazione. L’indice di Shapley–Shubik di un individuo è il numero di permutazioni in cui è decisivo, diviso per il numero totale delle permutazioni, cioè n!. Ciò consente di normalizzare l’indice in modo che la somma di tutti gli indici di Shapley–Shubik sia pari a 1.

Torniamo a Démocristan: con soli tre partiti, la situazione è simmetrica e ciascuno è decisivo in due delle sei possibili permutazioni; gli indici di Shapley–Shubik di A, B e C sono dunque identici e pari a 1/3. Dopo le elezioni, occorre esaminare le centoventi possibili permutazioni dei cinque gruppi parlamentari: A è decisivo in trentasei casi, altrettanto B, mentre C, D ed E sono decisivi in sedici casi ciascuno. Gli indici di Shapley–Shubik valgono dunque 9/30 per A e B e 4/30 per C, D ed E.

Le proprietà matematiche del potere -------------------------------------------

In un articolo pubblicato nel 2003 (la Mesure du pouvoir de vote, Mathématiques et Sciences humaines 163), Nicolas-Gabriel Andjiga, Frédéric Chantreuil e Dominique Lepelley censiscono quasi una decina di diversi indici di potere e mostrano che tutti possono essere formalizzati in modo generico contando le coalizioni in cui un individuo è decisivo e assegnando a ciascuna di esse un peso specifico (vedi riquadro).

Lo studio degli indici di potere permette di determinare alcune proprietà tecniche. Se un individuo a possiede un peso maggiore di b, il suo potere non può essere inferiore a quello di b (proprietà di monotonia). Se a trasferisce una parte del proprio peso a b, il potere di a non può aumentare (proprietà di trasferimento). Se a e b formano un blocco, cioè si comportano come un individuo il cui peso totale è pari alla somma dei pesi di a e b, il potere di questo blocco deve essere almeno pari alla somma degli indici di potere di a e b (proprietà di blocco).

Gli indici di Banzhaf e di Shapley–Shubik soddisfano queste tre proprietà. Sorprendentemente, l’indice di Banzhaf normalizzato soddisfa soltanto la monotonia.

Il rispetto di queste proprietà permette di evitare situazioni paradossali: il mancato soddisfacimento di una di esse corrisponde a una situazione in cui un maggior peso attribuisce a un individuo un minor potere! In altre parole, talvolta sarebbe meglio non vincere le elezioni… In realtà, nella teoria dei giochi il potere effettivo di un individuo non è esattamente uguale al suo peso; non sorprende dunque che alcune situazioni di potere appaiano talvolta matematicamente paradossali.

Al Parlamento europeo ---------------------

Lasciamo Démocristan e osserviamo il potere dei diversi gruppi all’interno del Parlamento europeo eletto nel maggio 2019, in un momento in cui l’appartenenza della Gran Bretagna all’Unione europea era piuttosto incerta. Si contano sette gruppi costituiti: Gruppo del Partito popolare europeo (PPE); Alleanza progressista dei socialisti e democratici (S&D); Alleanza dei democratici e dei liberali per l’Europa (ADLE), ora rinominata Renew Europe; Gruppo dei Verdi/Alleanza libera europea (Verdi/ALE); Gruppo Europa delle nazioni e delle libertà (ENL); Conservatori e riformisti europei (CRE); Sinistra unitaria europea/Sinistra verde nordica (GUE/NGL). Fra i non iscritti si possono inoltre distinguere due gruppi coerenti: il Partito della Brexit e il Movimento 5 stelle. Vi sono dunque in tutto dieci gruppi diversi, considerando impropriamente che i deputati non iscritti votino in modo identico.

L’indice di Banzhaf normalizzato di ciascun gruppo parlamentare si calcola esaminando i 2¹⁰ = 1 024 possibili sottoinsiemi e individuando per ciascuno i gruppi decisivi. L’indice di Shapley–Shubik si calcola esaminando le 10! = 3 628 800 diverse permutazioni e annotando, per ciascuna, quale sia il gruppo decisivo.

e indici di Shapley–Shubik e di Banzhaf normalizzati.

con le percentuali di seggi detenuti da ciascun partito.

L’analisi di questi risultati (vedi tabella) mostra che i «grandi» partiti PPE e S&D hanno, all’interno del Parlamento, un potere maggiore di quanto lasciassero pensare i rispettivi numeri di seggi. Al contrario, i «piccoli» partiti, come i Verdi o l’ENL, hanno un potere minore del loro peso in Parlamento. I due indici, pur non essendo strettamente identici, non sono «molto lontani» l’uno dall’altro e riflettono una medesima realtà: in un contesto di frammentazione dei partiti, il potere dei «grandi» risulta rafforzato (rispetto ai «piccoli») perché sono più necessari alla formazione di coalizioni vincenti. Il che dimostra che non basta padroneggiare l’arte della campagna elettorale per vincere le elezioni: bisogna anche trovarsi a proprio agio con la teoria dei giochi…