Géométrie projective : voir l'infini de près avec le disque euclidien

Née de la perspective des peintres de la Renaissance, la géométrie projective étudie les propriétés des figures invariantes par projection centrale. Girard Desargues en jette les bases en 1639, mais c'est Jean-Victor Poncelet qui la refonde dans son Traité des propriétés projectives des figures publié en 1822 et conçu durant sa captivité en Russie. On y complète le plan par des points à l'infini, où se rejoignent les parallèles : deux droites s'y coupent toujours. Distances et angles s'effacent ; ne subsistent que l'incidence, l'alignement et le birapport, son invariant fondamental.

Dans une première approche, le plan projectif peut être considéré comme un complété du plan affine usuel. À chaque droite affine $dd$on ajoute un point à l'infini ${\mathrm{\infty }}_d\backslash infty\_d$ tel que toutes les droites affines parallèles ont le même point à l'infini : si $d\mathrm{/}\mathrm{/}{d}^{\mathrm{\prime }}d\; \backslash ,\; //\; \backslash ,\; d\text{'}$ alors ${\mathrm{\infty }}_d={\mathrm{\infty }}_{d^{\mathrm{\prime }}}\backslash infty\_d\; =\; \backslash infty\_\{d\text{'}\}$. Il faut bien comprendre qu'il n'y a qu'un seul point à l'infini sur cette droite : c'est le même qu'on aille dans un sens ou dans l'autre. L'ensemble de tous ces points à l'infini forment une nouvelle droite du plan projectif appelée la droite de l'infini.