Jeu de massacre chez les entiers --------------------------------
Le crible d’Ératosthène consiste à supprimer tous les multiples d’un entier autre que lui-même dans une table contenant les entiers de 2 à N. On obtient ainsi la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à N.
Stanislas Ulam et quelques collègues ont proposé un petit jeu assez voisin dans les années 1950. On considère la suite des entiers naturels non nuls. On supprime un terme sur deux ; il ne reste alors que les entiers impairs. Le deuxième nombre qui n’a pas encore été supprimé est 3 ; on supprime alors un terme sur trois parmi les survivants (5, 11, 17…). Le troisième nombre qui n’a pas été supprimé est mainte-nant 7 ; on répète le processus en supprimant alors un terme sur sept parmi les survivants (19, 39, 61…). Le prochain « survivant » est 9, et on supprimera donc un terme sur neuf, et ainsi de suite.
Les nombres qui arrivent à survivre à ce terrifiant processus d’élimination sont dits chanceux. Les premiers nombres chanceux sont 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49… Il y en a une infinité et ils vérifient des propriétés voisines de celles vérifiées par les nombres premiers. Par exemple, leur distribution dans l’ensemble des entiers naturels semble identique. On suppose que la conjecture de Golbach, qui stipule que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers, reste valide pour les nombres chanceux. Tout cela interroge finalement la nature profonde des nombres premiers : leurs propriétés sont-elles liées au fait qu’ils puissent être construits à l’aide d’un crible ?
On ne sait toujours pas s’il existe une infinité de nombres à la fois premiers et chanceux…