Acheter des terrains pour y construire maisons et hôtels qui forceront les autres joueurs à payer des loyers de plus en plus exorbitants… Vous avez reconnu le jeu de Monopoly, inventé aux États-Unis il y a un siècle (voir encadré ci-dessous).
On pourrait penser que, puisque les pions avancent selon le hasard des dés, il n’y a pas grand chose à tirer du Monopoly du point de vue mathématique. En réalité, le jeu donne à voir un cas d’école de processus de Markov, une importante catégorie de processus stochastiques c’est-à-dire de systèmes qui évoluent de façon aléatoire, que la théorie des probabilités permet d’étudier. Ceux-ci constituent aujourd’hui un enjeu majeur en mathématiques appliquées, au point que ce domaine né au début du XXe siècle est aujourd’hui un sujet parmi les plus courants dans les laboratoires de recherche, pour des domaines relevant aussi bien des télécommunications que de l’épidémiologie ou encore de la finance.
Processus markoviens et chaînes de Markov
Un processus markovien, c’est une évolution aléatoire au cours de laquelle la connaissance de la situation à un instant n suffit pour décrire les probabilités des différentes situations envisageables à l’instant n + 1. Tel est le cas du Monopoly. En effet, si un pion se trouve sur la case départ, peu importe que la partie commence ou que le joueur vienne de finir un tour complet : la probabilité que les dés conduisent le pion sur la rue Lecourbe est la même dans les deux cas. On parle de processus sans mémoire pour définir cette idée que le passé n’est d’aucune aide pour prévoir l’avenir, seul important la situation présente (voir encadré ci-dessous).
