Il matematico belga Jean Mawhin (nato nel 1942) afferma che «la modellizzazione matematica è un’arte difficile, affine a quella del caricaturista. Bisogna ottenere il massimo della somiglianza con il minimo dei tratti. Bisogna saper trascurare a priori ciò che sarà a posteriori trascurabile». Spesso è così. Ma che dire della fisica? L’aderenza sempre più precisa dei modelli esistenti alle osservazioni fa sì che, per alcuni scienziati, il modello diventi un’espressione alternativa della realtà. Nella loro mente i due oggetti si confondono, fino a diventare due espressioni equivalenti dello stesso fenomeno. Il modello permetterebbe di raggiungere una certa forma di realtà. È davvero così? Certo, la crescente sofisticazione delle nostre rappresentazioni matematiche del reale produce risultati sempre più conformi alle osservazioni, con una precisione via via maggiore. I nostri modelli migliorano. Ma sono per questo giunti a una sorta di «perfezione», qualunque cosa si intenda per questo termine? È necessario riflettere sulla nozione stessa di modello…
Rinunciare all’esaustività
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Se seguiamo lo storico della scienza italiano Giorgio Israël (1945–2015), possiamo chiamare «modello matematico» «qualsiasi forma di descrizione matematica di una classe di fenomeni». Il modello consiste in una costruzione matematica che mira a rappresentare un certo aspetto della realtà, tenendo conto di alcune caratteristiche pertinenti e dell’insieme dei dati disponibili. In fisica, si può ritenere di aver compreso un fenomeno quando si è in grado di produrne una rappresentazione matematica non contraddittoria in forma ipotetico-deduttiva, con ipotesi che assumono la forma di «leggi» e ne forniscono una descrizione sintetica; la sua applicazione calibrata produce risultati che non si discostano «troppo» dalle osservazioni.
La storia delle scienze ci mostra che la grande maggioranza dei modelli possiede proprietà comuni. Un modello matematico è una rappresentazione funzionale di un elemento della realtà mediante oggetti astratti appartenenti al mondo della matematica. È anche una rappresentazione selettiva della realtà. Per metterlo in opera, lo scienziato considera soltanto alcune caratteristiche della situazione studiata, ignorandone altre. Così facendo, rinuncia all’idea di giungere a un’immagine esaustiva della realtà. Il modello matematico può anche essere una rappresentazione universale: una stessa equazione può descrivere adeguatamente più fenomeni distinti.
Così l’equazione differenziale si applica tanto al moto di una massa posta all’estremità di un pendolo quando viene allontanata dalla sua posizione di equilibrio, quanto a quello di una molla leggermente allungata, o ancora, più in generale, all’andamento di qualunque fenomeno periodico corrispondente al caso in cui la forza considerata (uguale al prodotto della massa per l’accelerazione, ossia la derivata seconda della funzione di spostamento) è supposta proporzionale a tale spostamento. Un modello può allora essere visto come un frammento di matematica che permette di unificare un’intera categoria di fenomeni, che può rappresentare indifferentemente. In realtà, ogni situazione può essere analizzata attraverso modelli diversi e ogni modello può applicarsi a situazioni diverse.
