Le mathématicien belge Jean Mawhin (né en 1942) affirme que « la modélisation mathématique est un art difficile, proche de celui du caricaturiste. Il faut obtenir un maximum de ressemblance en un minimum de traits. Il faut savoir négliger a priori ce qui sera a posteriori négligeable ». C’est souvent vrai. Mais qu’en est-il dans le domaine de la physique ? L’adéquation de plus en plus fine des modèles existants aux observations fait que, pour certains scientifiques, le modèle devient une expression alternative de la réalité. Les deux objets se confondent dans leur esprit pour devenir deux expressions équivalentes du même phénomène. Le modèle permettrait d’atteindre une certaine forme de réalité. Est-ce vraiment le cas ? Certes, la sophistication accrue de nos représentations mathématiques du réel livre des résultats de plus en plus conformes à ceux observés, avec une précision toujours croissante. Nos modèles s’améliorent. En sont-ils pour autant arrivés à une sorte de « perfection », quoi que l’on mette derrière ce terme ? Une réflexion sur la notion même de modèle s’impose…
Renoncer à l’exhaustivité
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Si l’on suit l’historien des sciences italien Giorgio Israël (1945–2015), on peut nommer « modèle mathématique » « toute forme de description mathématique d’une classe de phénomènes ». Le modèle consiste en une construction mathématique ayant pour objectif de représenter, en prenant en compte certaines caractéristiques pertinentes et l’ensemble des données disponibles, un certain aspect de la réalité. En physique, on peut considérer avoir compris un phénomène lorsque l’on est à même d’en produire une représentation mathématique non contradictoire sous forme hypothético-déductive, les hypothèses prenant forme de « lois », qui en donne une description synthétique dont l’application calibrée produit des résultats ne s’écartant « pas trop » des observations.
L’histoire des sciences nous montre que la grande majorité des modèles possèdent des propriétés communes. Un modèle mathématique est une représentation fonctionnelle d’un élément de réalité au moyen d’objets abstraits appartenant au monde des mathématiques. Il est aussi une représentation sélective de la réalité. Pour le mettre en œuvre, le scientifique ne retient que certaines caractéristiques de la situation étudiée, pour en ignorer d’autres. Ce faisant, il renonce à l’idée d’aboutir à une image exhaustive de la réalité. Le modèle mathématique peut être également une représentation universelle : une même équation peut être à même de décrire adéquatement plusieurs phénomènes distincts.
Ainsi l’équation différentielle s’applique aussi bien au mouvement d’une masse placée à l’extrémité d’un pendule lorsqu’elle est écartée de son point de repos qu’à celui d’un ressort légèrement étendu, ou encore, plus généralement, à la trajectoire de tout phénomène périodique correspondant au cas où la force considérée (égale au produit de la masse par l’accélération, soit la dérivée seconde de la fonction de déplacement) est supposée proportionnelle à ce déplacement. Un modèle peut alors être vu comme un fragment de mathématiques permettant d’unifier toute une catégorie de phénomènes, qu’il peut représenter indifféremment. En fait, chaque situation peut être analysée à travers différents modèles, et chaque modèle peut s’appliquer à différentes situations.
