El matemático belga Jean Mawhin (nacido en 1942) afirma que «la modelización matemática es un arte difícil, próximo al del caricaturista. Hay que lograr el máximo parecido con el mínimo de trazos. Hay que saber despreciar a priori lo que será a posteriori desdeñable». A menudo es así. Pero ¿qué ocurre en el ámbito de la física? La adecuación cada vez más precisa de los modelos existentes a las observaciones hace que, para algunos científicos, el modelo se convierta en una expresión alternativa de la realidad. Ambos objetos se confunden en su mente y pasan a ser dos expresiones equivalentes del mismo fenómeno. El modelo permitiría alcanzar cierta forma de realidad. ¿Es realmente así? Es cierto que la creciente sofisticación de nuestras representaciones matemáticas de lo real proporciona resultados cada vez más acordes con los observados, con una precisión siempre mayor. Nuestros modelos mejoran. Pero ¿han llegado por ello a una especie de «perfección», sea cual sea el sentido que se dé a este término? Se impone una reflexión sobre la propia noción de modelo…
Renunciar a la exhaustividad
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Si seguimos al historiador italiano de la ciencia Giorgio Israël (1945–2015), podemos denominar «modelo matemático» a «toda forma de descripción matemática de una clase de fenómenos». El modelo consiste en una construcción matemática cuyo objetivo es representar cierto aspecto de la realidad, teniendo en cuenta determinadas características pertinentes y el conjunto de los datos disponibles. En física, podemos considerar que hemos comprendido un fenómeno cuando somos capaces de elaborar una representación matemática no contradictoria de él de carácter hipotético-deductivo, en la que las hipótesis adoptan la forma de «leyes» y que proporciona una descripción sintética cuya aplicación, debidamente calibrada, produce resultados que no se apartan «demasiado» de las observaciones.
La historia de las ciencias nos muestra que la gran mayoría de los modelos poseen propiedades comunes. Un modelo matemático es una representación funcional de un elemento de la realidad mediante objetos abstractos pertenecientes al mundo de las matemáticas. También es una representación selectiva de la realidad. Para aplicarlo, el científico retiene solo determinadas características de la situación estudiada e ignora otras. Al hacerlo, renuncia a la idea de llegar a una imagen exhaustiva de la realidad. El modelo matemático también puede ser una representación universal: una misma ecuación puede describir adecuadamente varios fenómenos distintos.
Así, la ecuación diferencial se aplica tanto al movimiento de una masa situada en el extremo de un péndulo cuando se la separa de su posición de equilibrio como al de un muelle ligeramente estirado o, más en general, a la trayectoria de cualquier fenómeno periódico correspondiente al caso en que se supone que la fuerza considerada (igual al producto de la masa por la aceleración, es decir, la segunda derivada de la función de desplazamiento) es proporcional a dicho desplazamiento. Un modelo puede verse entonces como un fragmento de matemáticas que permite unificar toda una categoría de fenómenos, a los que puede representar indistintamente. De hecho, cada situación puede analizarse mediante diferentes modelos, y cada modelo puede aplicarse a distintas situaciones.
