Matematica saponosa

Cosa c’è di più affascinante delle bolle di sapone? Senza dubbio le pellicole di sapone. Una bolla di sapone resta pur sempre una bolla, ed è un po’ monotona. Certo, se ne possono accostare due, tre o più. Ma una bolla è sempre perfettamente rotonda!

Bolle e pellicole di sapone ------------------------

Le pellicole di sapone sono decisamente più varie. Si ottengono immergendo contorni di filo metallico in una vaschetta d’acqua saponata.

Per fare l’esperimento a casa, usate una miscela di acqua, detersivo per piatti e glicerina (una sostanza molto grassa reperibile in farmacia, che permette alle pellicole di sapone di durare più a lungo). Oppure potete guardare il video dell’autore « Bulles de savon (expériences) » (14 min, 2021), disponibile online sul sito di risorse audiovisive per la matematica VideoDiMath.

Quando si estrae la sagoma dalla vaschetta, il sapone vi resta attaccato e forma una superficie nello spazio. Ma non una qualunque! Ripetendo l’esperimento con sagome diverse, si osservano insieme una grande varietà e una certa regolarità nelle forme assunte dal sapone. Che cosa se ne può dire? Prima di tutto, non esitate a fare voi stessi qualche esperimento a casa!

Una pellicola di sapone è composta da uno strato d’acqua racchiuso fra due strati di molecole di sapone, per uno spessore totale dell’ordine del micrometro. Queste ultime hanno una testa idrofila e una coda idrofoba, che le porta a disporsi come nel disegno: la testa idrofila verso l’interno, cioè verso lo strato d’acqua, e la coda idrofoba verso l’esterno, cioè verso l’aria. I due strati esterni di sapone ritardano l’evaporazione impedendo il contatto dell’acqua con l’aria. Per questo una bolla di sapone non scoppia subito.

L’energia potenziale di una pellicola di sapone è proporzionale alla sua area. All’equilibrio, trascurando però gli effetti della gravità o del vento…, il sapone minimizza dunque l’area della pellicola che forma. La minimizza però localmente: significa che, se la superficie viene perturbata «un pochino», la sua area aumenta. Non è invece certo che il sapone raggiunga la superficie di area minima possibile; i minimi locali dell’area sono stabili. Si pensi a una palla in un paesaggio collinare: sarà in equilibrio in una conca, ma non necessariamente nel punto di quota minima del paesaggio.

si tratta di una superficie minima.

Minimizzare l’area con vincoli ---------------------------------

Se il sapone assume queste forme magnifiche, regolari ma talvolta sorprendenti, è semplicemente perché cerca la superficie di area minima compatibile con i vincoli che gli imponiamo. Nelle bolle di sapone gli imponiamo di racchiudere un volume d’aria fissato: assume quindi la forma di area minima che racchiude tale volume.

Nel caso di più bolle, il sapone trova la forma che minimizza l’area totale racchiudendo al tempo stesso più volumi distinti e separati, che possono essere uguali o diversi. Per le pellicole di sapone, il vincolo è restare attaccate alla sagoma, poiché l’energia necessaria per staccarsene è troppo elevata. Si possono anche combinare i vincoli.

Ed eccoci arrivati, senza nemmeno accorgercene, nel campo della matematica. Abbiamo ricondotto la comprensione delle forme delle pellicole di sapone a una questione geometrica ben posta: quali sono le proprietà delle superfici di area minima soggette a determinati vincoli?

Prima di affrontare le superfici nello spazio, è sempre interessante, ed è un gesto matematico essenziale, semplificare il problema. Vediamo anzitutto che cosa accade per le curve nel piano. Cerchiamo di minimizzare la lunghezza totale di una curva piana che deve collegare fra loro alcuni punti. È il problema delle autostrade. Dati alcuni punti nel piano, ossia dei villaggi, si tratta di trovare una curva, ossia una rete stradale, che colleghi tutti questi punti e abbia lunghezza totale minima. Lo si può fare perfino con il sapone, imponendo una simmetria per traslazione verticale!

Già, le strade saranno rettilinee: la curva sarà cioè composta da segmenti di retta, perché nella geometria euclidea la retta è il cammino più breve che unisce due punti. Ma questi segmenti possono intersecarsi. A ogni intersezione giungono tre strade, che formano angoli di 120 gradi (vedi per esempio il video dell’autore « Bulles de savon (explications) » (19 min, 2021), anch’esso disponibile su VideoDiMath).

In generale, ottenere la configurazione ottimale non è semplice, ma esistono algoritmi per trovarla. Si basano sulla dimostrazione che esiste un numero finito di configurazioni possibili, vale a dire configurazioni formate da segmenti che partono dai punti iniziali e da intersezioni di tre segmenti a angoli uguali, che basta esaminare una per una. Ma può volerci molto tempo! Un’altra soluzione consiste nell’immergere nel sapone una piastra dotata di perni: ci darà la soluzione.

Ma nello spazio, che cosa sostituisce le rette? Le superfici che minimizzano l’area sono dette superfici minime. Hanno curvatura media nulla.

Prendiamo una superficie S e un punto di S. Il piano tangente è il piano che meglio «approssima» la superficie in prossimità di quel punto. Nel caso di una sfera, per esempio, è semplicemente il piano che si posa sulla sfera in quel punto. Una direzione ortogonale a questo piano tangente è detta la normale alla superficie in quel punto; le possibilità sono due, ma se ne può fissare una.

Immaginiamo ora un piano che contenga questa direzione normale, dunque un piano ortogonale al piano tangente. La sua intersezione con la superficie è una curva piana. Questa curva ha una curvatura. Le si assegna un segno, dicendo che è positiva se la curva è rivolta verso la normale scelta, e negativa altrimenti. Si ottiene così una famiglia di curvature corrispondenti a tutte le intersezioni della superficie con piani ortogonali al piano tangente. Un risultato di Leonhard Eulero (1707‒1783) afferma che queste curvature raggiungono un massimo e un minimo in due direzioni ortogonali. Sono le due direzioni principali di curvatura, alle quali corrispondono due curvature. La media di queste due curvature è… la curvatura media. Dire che questo numero è nullo equivale a dire che, localmente, ci si trova sempre nella configurazione della sella di cavallo, con le due curvature uguali a meno del segno.

Esistono dunque due grandi modelli locali di superficie minima: il piano e la sella di cavallo con curvature uguali. Questo mondo è comunque molto più vasto di quello delle rette nel piano, poiché tali modelli locali possono dar luogo a un’ampia varietà di superfici.

Da Joseph Plateau a Jean Taylor -----------------------------------

Nel 19 ^º secolo, un fisico e matematico belga, Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801‒1883), fu anch’egli affascinato dalle pellicole di sapone, tanto da scrivere un ponderoso trattato in gran parte dedicato all’argomento: Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires (1873). Quando Plateau scrisse questo libro era cieco. Ma compì queste osservazioni prima di diventarlo e disponeva di assistenti competenti per ripetere gli esperimenti. Descrisse con grande precisione come condurre tali esperimenti, come compensare gli effetti della gravità e come misurare gli angoli con grande accuratezza.

Al termine di queste osservazioni, arrivò a formulare tre leggi alle quali obbediscono le pellicole di sapone:

• Sono costituite da superfici regolari minime; è esattamente ciò che abbiamo appena visto e, a parte la regolarità, il fenomeno era già noto all’epoca;

• Queste superfici si intersecano tre a tre lungo spigoli, formando angoli di 120 gradi;

• Questi spigoli si intersecano quattro a quattro formando l’angolo al centro del tetraedro regolare, un angolo di valore approssimativo pari a 109,47°, il cui coseno vale $-{\displaystyle \frac{1}{3}}-\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ e il cui seno vale ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\backslash dfrac\{2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\}$.

Queste leggi, che Plateau non dimostrò, divennero una congettura destinata a durare un secolo. Nel 1976 la matematica statunitense Jean Taylor, nata nel 1944, pubblicò nella prestigiosa rivista Annals of Mathematics una dimostrazione di queste leggi. E ciò prova che, contro ogni apparenza, questa non è un quadrato:

Infatti, se lo fosse, vi sarebbero angoli di 90 gradi. Eppure gli angoli d’intersezione degli spigoli devono essere superiori a 109°.

Ma se la piccola figura centrale non è un quadrato, per simmetria i suoi lati non possono essere rettilinei. Ciò significa che le superfici ancorate al bordo, anch’esse contro ogni apparenza, non sono piane. Sono superfici minime, non piani: questi ultimi si intersecherebbero necessariamente lungo segmenti di retta.

Insomma, le pellicole di sapone possono essere sorprendenti! Del resto, sono ben lontane dall’avere svelato tutti i loro segreti matematici…

immergendo una struttura cubica in una soluzione saponata, non si ottiene un «modello in scala» del cubo. Il risultato ha approssimativamente la forma di un quadrato circondato da superfici non piane.