Matemáticas jabonosas

¿Qué hay más fascinante que las pompas de jabón? Sin duda, las películas de jabón. Una pompa de jabón no deja de ser una pompa, y resulta un poco monótona. Es cierto que podemos unir dos, tres o más. ¡Pero una pompa siempre es completamente redonda!

Pompas y películas de jabón ------------------------

Las películas de jabón son mucho más variadas. Se obtienen sumergiendo contornos de alambre de hierro o de cobre en una cubeta de agua jabonosa.

Para hacer el experimento en casa, utilice una mezcla de agua, lavavajillas y glicerina (una sustancia muy grasa que se encuentra en farmacias y permite que las películas de jabón duren más). Si no, puede ver el vídeo del autor «Bulles de savon (expériences)» (14 min, 2021), que está disponible en línea en VideoDiMath, el sitio de recursos audiovisuales para las matemáticas.

Cuando sacamos el contorno de la cubeta, el jabón queda adherido a él y forma una superficie en el espacio. ¡Pero no una superficie cualquiera! Si repetimos el experimento con distintos contornos, observamos a la vez una gran variedad y cierta regularidad en las formas que adopta el jabón. ¿Qué podemos decir de ellas? ¡No dudéis en hacer vosotros mismos experimentos en casa antes que nada!

Una película de jabón está formada por una capa de agua rodeada de dos capas de moléculas de jabón (con un grosor total del orden de una micra). Estas tienen una cabeza hidrófila y una cola hidrófoba, lo que hace que se dispongan como en el dibujo: la cabeza hidrófila hacia el interior —hacia la capa de agua— y la cola hidrófoba hacia el exterior, es decir, hacia el aire. Las dos capas exteriores de jabón retrasan la evaporación al evitar el contacto del agua con el aire. Por eso una pompa de jabón no estalla inmediatamente.

La energía potencial de una película de jabón es proporcional a su área. En equilibrio —prescindiendo, no obstante, de los efectos de la gravedad o del viento—, el jabón minimiza por tanto el área de la película que forma. Más exactamente, la minimiza localmente: esto significa que, si perturbamos la superficie «un poco», su área aumenta. En cambio, no es seguro que el jabón alcance la superficie de menor área posible; los mínimos locales del área son estables. Hay que pensar en una pelota en un paisaje ondulado. Estará en equilibrio en una hondonada, pero ese no será necesariamente el punto de menor altitud del paisaje.

se trata de una superficie mínima.

Minimizar el área con restricciones ---------------------------------

Si el jabón adopta estas formas magníficas, regulares pero a veces sorprendentes, es sencillamente porque busca la superficie de menor área posible bajo las restricciones que le imponemos. En las pompas de jabón, le imponemos encerrar un volumen de aire fijo: adopta, por tanto, la forma que minimiza el área y encierra un volumen fijo.

En el caso de varias pompas, el jabón encuentra la forma que minimiza el área total al tiempo que encierra varios volúmenes distintos y separados —que pueden ser iguales o diferentes—. En las películas de jabón, la restricción consiste en quedar adherido al contorno, pues la energía necesaria para desprenderse de él es demasiado grande. También podemos imaginar combinaciones de restricciones.

Y así llegamos, sin siquiera darnos cuenta, al terreno de las matemáticas. Hemos reducido la comprensión de las formas de las películas de jabón a una cuestión geométrica bien planteada: ¿cuáles son las propiedades de las superficies de área mínima sometidas a ciertas restricciones?

Antes de abordar las superficies en el espacio, siempre resulta interesante —un gesto matemático esencial— simplificar el problema. Veamos primero qué ocurre con las curvas en el plano. Intentemos minimizar la longitud total de una curva plana que debe unir varios puntos. Este es el problema de las carreteras. Dados algunos puntos en el plano —pueblos—, hay que encontrar una curva —una red de carreteras— que conecte todos esos puntos entre sí y tenga longitud total mínima. ¡Incluso podemos hacerlo con jabón imponiendo una simetría por traslación vertical!

Para empezar, las carreteras serán rectas, es decir, la curva estará compuesta por segmentos de recta —pues, en geometría euclidiana, la recta es el camino más corto que une dos puntos—. Pero estos segmentos pueden cortarse. En cada intersección confluyen tres carreteras y forman ángulos de 120 grados (véase, por ejemplo, el vídeo del autor «Bulles de savon (explications)» (19 min, 2021), también disponible en VideoDiMath).

En general, la configuración óptima no es fácil de obtener, pero existen algoritmos para hallarla. Se basan en la demostración de que existe un número finito de configuraciones posibles —es decir, segmentos que parten de los puntos iniciales y presentan intersecciones de tres en tres con ángulos iguales—, que basta probar una a una. ¡Pero puede llevar mucho tiempo! Otra solución consiste en sumergir en jabón una placa con salientes; así obtendremos la solución.

Pero, en el espacio, ¿qué sustituye a las rectas? Las superficies que minimizan el área se denominan superficies mínimas. Tienen curvatura media nula.

Tomemos una superficie S y un punto de S. El plano tangente es el plano que mejor «aproxima» la superficie en las proximidades de ese punto. En el caso de una esfera, por ejemplo, es sencillamente el plano que se apoya sobre la esfera en ese punto. Una dirección ortogonal a este plano tangente se denomina dirección normal a la superficie en ese punto (hay dos posibilidades, pero podemos fijar una).

Imaginemos ahora un plano que contenga esa dirección normal, es decir, un plano ortogonal al plano tangente. Su intersección con la superficie es una curva plana. Esta curva tiene una curvatura. Le asignamos un signo: es positiva si la curva gira hacia la normal elegida y negativa en caso contrario. Obtenemos así una colección de curvaturas correspondientes a todas las intersecciones de la superficie con planos ortogonales al plano tangente. Un resultado de Leonhard Euler (1707‒1783) establece que estas curvaturas alcanzan un máximo y un mínimo en dos direcciones ortogonales. Son las dos direcciones de curvatura principal, que proporcionan dos curvaturas. La media de estas dos curvaturas es… la curvatura media. Decir que este número es nulo equivale a decir que, localmente, siempre nos encontramos en la configuración de la silla de montar, con las dos curvaturas iguales salvo por el signo.

Hay, pues, dos grandes modelos locales de superficie mínima: el plano y la silla de montar, con curvaturas iguales en valor absoluto. Sin embargo, este mundo es mucho más amplio que el de las rectas en el plano, pues estos modelos locales pueden dar lugar a una gran variedad de superficies.

De Joseph Plateau a Jean Taylor -----------------------------------

En el 19^.º siglo, el físico y matemático belga Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801‒1883) también quedó fascinado por las películas de jabón, hasta el punto de escribir un voluminoso tratado dedicado en gran parte a este tema: Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires (1873). Cuando Plateau escribió este libro, era ciego. Pero había realizado estas observaciones antes de quedarse ciego y contaba con ayudantes competentes para repetir los experimentos. Describe con mucha precisión cómo llevarlos a cabo, cómo compensar los efectos de la gravitación y cómo medir los ángulos con gran precisión.

Al término de estas observaciones, llegó a formular tres leyes que obedecen las películas de jabón:

• Están formadas por superficies regulares que son mínimas (esto es exactamente lo que acabamos de ver; salvo la regularidad, este fenómeno ya se conocía en la época);

• Estas superficies se intersectan de tres en tres a lo largo de aristas, formando ángulos de 120 grados;

• Estas aristas se intersectan de cuatro en cuatro formando el ángulo tetraédrico (este ángulo, de valor aproximado 109,47°, es aquel cuyo coseno vale $-{\displaystyle \frac{1}{3}}-\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ y cuyo seno vale ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\backslash dfrac\{2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\}$).

Estas leyes, que Plateau no demuestra, se convirtieron en una conjetura que se mantuvo durante un siglo. En 1976, la matemática estadounidense Jean Taylor (nacida en 1944) publicó en la prestigiosa revista Annals of Mathematics una demostración de estas leyes. Esto demuestra que, contra toda apariencia, no es un cuadrado:

En efecto, si lo fuera, habría ángulos de 90 grados. Pero los ángulos de intersección de las aristas deben ser superiores a 109°.

Pero si la pequeña figura central no es un cuadrado, por simetría, los lados de esta figura no pueden ser rectilíneos. Esto significa que las superficies que se adhieren al borde, también contra toda apariencia, no son planas. Son superficies mínimas, pero no son planos, que necesariamente se intersectarían a lo largo de segmentos de recta.

¡Las películas de jabón pueden resultar sorprendentes! Además, todavía no han revelado todos sus secretos matemáticos, ni mucho menos…

al sumergir una estructura cúbica en una solución jabonosa, no se obtiene un «modelo a escala» del cubo. El resultado tiene aproximadamente la forma de un cuadrado rodeado de superficies no planas.