Nel 1737 Leonhard Eulero dimostrò, con non poca astuzia, che diverge anche la somma degli inversi dei numeri primi. Paul Erdős ridimostrò questo risultato nel 1938 attraverso un elegantissimo ragionamento per assurdo.
Fu proprio Paul Erdős a spingere la riflessione un po’ oltre, chiedendosi che cosa avesse di tanto particolare, in questa storia, l’insieme P dei numeri primi. Sia dunque A un insieme di numeri naturali che non contiene 1 e tale che nessuno dei suoi elementi ne divida un altro. È proprio il caso di P; troverete facilmente altri insiemi di questo tipo, finiti o no, che soddisfano questa proprietà. Paul Erdős definì questi insiemi primitivi e dimostrò nel 1935 che la somma è sempre finita.
Meglio ancora, tutte queste somme sono maggiorate da una certa costante assoluta, indipendente dalla scelta dell’insieme primitivo! Nel 1988, durante un soggiorno a Limoges (Haute-Vienne), Paul Erdős formulò persino la congettura che la più grande di queste somme fosse in realtà quella ottenuta con l’insieme P dei numeri primi.
