La teoria delle wavelet è un nuovo approccio all’analisi delle funzioni, in cui l’attenzione non si concentra più sui valori della funzione o delle sue derivate in un punto, bensì su medie calcolate su intervalli. Il francese Yves Meyer è considerato uno dei suoi fondatori nel 1986, e ciò gli valse il premio Abel 2017. La teoria delle wavelet si è sviluppata con estrema rapidità, aprendo possibilità e applicazioni inattese, tra cui la compressione dei file, in particolare con il formato JPEG 2000.
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*Come comprimere un file*
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L’applicazione più comune è infatti la compressione dei file. Un file contenente molti 0 si comprime facilmente: per esempio, basta non memorizzare gli 0, ma soltanto i valori non nulli e le loro posizioni nel file. Così, un file di N numeri che contenesse soltanto n valori non nulli può essere memorizzato usando solo n numeri reali (i valori non nulli) e n numeri interi (le loro posizioni), cioè 2n valori. Per comprimere un file, cercheremo quindi di creare degli 0, anche a costo di porre uguali a 0 valori «vicini a 0».
Prendiamo dunque un file da comprimere. Il suo segnale sarà l’insieme dei numeri contenuti nel file; può rappresentare tanto un suono, un’immagine o un video, quanto qualsiasi sequenza di valori misurati. I file più semplici sono a una variabile, come i file audio (ventimila valori al secondo per trasmettere frequenze fino a 20 kHz, limite dell’udito umano). Se si vuole trasmettere un solo valore, sembra naturale inviare la media m00 di tutti i valori del file. Per trasmetterne due, si può considerare la media m10 della prima metà del file, poi quella, m11, della seconda metà. Ma si possono anche inviare m00 e d10 = m10 – m00 (d10 è detto dettaglio). Sarà allora facile ricostruire m10 e m11 (poiché m10 + m11 = 2m00). È la stessa cosa… tranne che, se m10 = m11 (non nulli), si ha d10 = 0. Abbiamo quindi trasformato un valore non nullo (m10) in un valore nullo (d10).
