L’irragionevole efficacia della matematica

In un celebre articolo scritto nel 1960, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, il fisico Eugene Wigner (vedi riquadro) analizza le relazioni tra matematica e fisica e si interroga su due punti:

• Com’è possibile che uno stesso concetto matematico ricorra in situazioni che, a quanto pare, non hanno nulla in comune e permetta tuttavia di descriverle tutte con altrettanta precisione?

• La sconcertante efficacia della matematica nelle scienze naturali, in particolare in fisica, è il segno di una corrispondenza univoca tra le teorie e ciò che descrivono?

Chi è Eugene Wigner? -----------------------

Eugene Paul Wigner fu un fisico teorico nato in Ungheria nel 1902. Divenuto assistente di David Hilbert all’Università di Gottinga nel 1927, si interessò alla teoria dei gruppi di simmetria e alle sue applicazioni alla fisica quantistica, di cui formalizzò l’algebra con Hermann Weyl. In seguito all’ascesa al potere dei nazisti in Germania, si stabilì negli Stati Uniti e ottenne la cittadinanza americana nel 1937. Divenne professore di matematica all’Università di Princeton, nel New Jersey, dove rimase fino alla fine della carriera. I suoi interessi furono allora assai vari, ma sempre incentrati sulle teorie matematiche e sulle questioni d’attualità della fisica. Tra i suoi contributi fondamentali, oltre a quelli nella fisica nucleare che gli valsero il premio Nobel nel 1963, in particolare il modello che descrive la struttura a strati del nucleo atomico, ricordiamo anche: le rappresentazioni del gruppo di Poincaré, la spiegazione del meccanismo della reazione nucleare a catena, il metodo di quantizzazione di un campo di fermioni con Pascual Jordan, l’effetto di spostamento di un atomo in un reticolo cristallino sotto l’azione di una particella ad alta energia (effetto Wigner), l’uso delle matrici aleatorie per modellizzare i nuclei, con un’importante legge limite, il teorema di Wigner. Durante la Seconda guerra mondiale, dal 1942 al 1945, Eugene Wigner svolse anche un ruolo chiave nel progetto Manhattan per la realizzazione della prima bomba atomica. Morì a Princeton nel 1994.

Prendiamo questa semplice formula: c / d = π, che lega la circonferenza c di un cerchio al suo diametro d. Sorprendentemente, lo stesso numero π compare anche nella somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri dispari:

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{({2n+1})^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}.

Si può provare lo stesso stupore osservando come la matematica si inserisca nelle teorie fisiche: uno stesso concetto matematico può rivelarsi estremamente utile in teorie fisiche molto lontane tra loro. È tanto più sorprendente se si considerano teorie nelle quali la matematica non è soltanto uno strumento, ma svolge un ruolo fondativo, tendendo a confermare la visione generalmente attribuita a Galileo, secondo cui le leggi della natura sono scritte in linguaggio matematico. È il caso delle tre grandi teorie della fisica moderna: la teoria della gravitazione, la meccanica quantistica e l’elettrodinamica quantistica. Vediamo più da vicino come agisca questa «irragionevole efficacia» della matematica.