La teoría de las ondículas es una nueva manera de abordar el análisis de funciones: el interés ya no se centra en los valores de la función o de sus derivadas en un punto, sino más bien en promedios sobre intervalos. El francés Yves Meyer es considerado uno de sus fundadores desde 1986, lo que le valió el premio Abel de 2017. La teoría de las ondículas se desarrolló con enorme rapidez y abrió posibilidades y aplicaciones inesperadas, como la compresión de archivos, en particular con el formato JPEG 2000.
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*Cómo comprimir un archivo*
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La aplicación más habitual es, en efecto, la compresión de archivos. Un archivo que contiene muchos 0 se puede comprimir fácilmente: basta, por ejemplo, con no almacenar los 0, sino únicamente los valores no nulos y sus posiciones en el archivo. Así, un archivo de N números que solo contuviera n valores no nulos puede almacenarse usando únicamente n valores reales (los valores no nulos) y n valores enteros (los de sus posiciones), es decir, 2n valores. Para comprimir un archivo, trataremos, por tanto, de crear 0, aunque para ello haya que convertir en 0 valores «cercanos a 0».
Tomemos, pues, un archivo que queramos comprimir. Su señal será el conjunto de números que contiene; puede representar tanto un sonido como una imagen, un vídeo o cualquier secuencia de valores medidos. Los archivos más sencillos son unidimensionales, como los de sonido (veinte mil valores por segundo para transmitir las frecuencias de hasta 20 kHz, límite de la audición humana). Si solo queremos transmitir un valor, parece natural enviar el promedio m00 de todos los valores del archivo. Para transmitir dos valores, podemos considerar el promedio m10 de la primera mitad del archivo y después el m11 de la segunda mitad. Pero también podemos enviar m00 y d10 = m10 – m00 (d10 se llama detalle). Entonces será fácil reconstruir m10 y m11 (pues m10 + m11 = 2m00). Es lo mismo… salvo que, si m10 = m11 (y no son nulos), entonces d10 = 0. Hemos transformado, por tanto, un valor no nulo (m10) en un valor nulo (d10).
