Le congruenze
L'idea di raggruppare gli interi secondo il resto della loro divisione per un numero dato è antica quanto l'aritmetica. Dal « teorema dei resti cinesi », ereditato dalla Cina antica e studiato fino al XIII secolo, a quello di Fermat, il campo conoscerà molti progressi, fino all'arrivo di Gauss, che formalizzerà la nozione di « congruenza » e firmerà l'atto di nascita dell'aritmetica modulare. Questa nuova e potente visione dei numeri, che permette di abbracciare l'infinità degli interi in un modello finito, si applica anche a domini concreti: la prova del 9, i cicli dei calendari, i codici di sicurezza... Si ritrova anche in musica e produce alcune graziose curiosità, come certi giochi di prestigio.
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Una storia dell’aritmetica modulare
L’idea di trattare i numeri attraverso i resti della loro divisione per determinati interi, anziché considerare i numeri stessi, si è fatta strada nel tempo. Gauss la strutturò con le sue «congruenze», da cui nacque l’aritmetica modulare odierna. Le congruenze: che storia!
La divisibilità senza calcoli
Non possiamo dimenticarli: sono radicati nei nostri ricordi di scuola, ma ne siamo proprio sicuri? Ricordiamo ancora tutti quei criteri di divisibilità che i nostri professori di matematica ci hanno ripetuto così spesso?
Piccolo circuito incongruo nel mondo delle congruenze
Lo si sapeva già in cucina: riutilizzare gli avanzi è tutta un’arte. Vale anche in matematica, grazie a un concetto di grande ricchezza: quello di congruenza. Questa nozione trova molteplici applicazioni, dalla vita quotidiana a contesti molto teorici.
Il teorema dei resti cinesi
La periodicità delle rivoluzioni planetarie suggerisce naturalmente la nozione di congruenza. La più antica testimonianza scritta di un problema su questo tema è nota come teorema dei resti cinesi. La sua universalità è all’origine di numerose e fondamentali applicazioni nella teoria dei numeri e dei polinomi.
La magia dei numeri e dei giochi automatici | Tangente
Le congruenze non rivelano mai la loro potenza in modo così visivo, coinvolgente e spettacolare come nell’ambito dei giochi di prestigio automatici. Certo, «nascoste sotto il tappeto», sono pur sempre lì e garantiscono all’artista un successo sicuro. Il pubblico non può che stupirsi dell’effetto ottenuto… e intuire che la magia dei numeri è all’opera.
Musica e congruenze nell’opera di Olivier Messiaen
Matematica e musica sono state legate per secoli, prima di separarsi poco a poco. Eppure molti compositori restano legati al linguaggio dei numeri. È il caso, in particolare, di Olivier Messiaen, nelle cui costruzioni modali entrano in gioco le congruenze.