Les chimistes parlent couramment du nombre d’Avogadro, expression représentant le nombre de particules dans une mole de matière : il s’écrit 6,02214076 × 1023. C’est assurément un « grand » nombre, mais les mathématiciens, souvent confrontés aux carrés, aux cubes, aux diverses puissances nièmes, aux exponentielles, qui deviennent très vite « immenses », ont dû inventer des astuces de notation pour les écrire.
Une notation adaptée
Avec l’utilisation des ordinateurs, on a inventé la notation m n, qu’on a tendance à écrire aujourd’hui simplement m^n (en ne marquant que la pointe de la flèche verticale) qui, pour évoquer mn, permet d’éviter les exposants. Tout comme la multiplication est une addition itérée (m × n = m + m + … + m, n fois), l’exponentiation n’est autre qu’une multiplication itérée puisque mn = m × m × … × m , où figurent n exemplaires du facteur m, ce que traduit également la notation fléchée.
La notation se généralise à m n = m m … m, avec n exemplaires de m, puis à m n = m m … m, toujours avec m écrit n fois, puis à m n = m m … m, encore avec m écrit n fois. Cette notation a été introduite en 1976 par Donald Knuth, mathématicien américain né en 1938, pionnier de la programmation, qui a appelé la double flèche vers le haut la tétration puisqu’elle désigne une exponentiation itérée. C’est ainsi que 3 3 = 33 = 27, 3 3 = 3 (3 3) = 3 27 = 7 625 597 484 987… et on comprend vite le bien-fondé de cette notation qui permet d’écrire « en ramassé » de très grands nombres. Il devient en effet très difficile d’écrire sans elle le nombre 3 3 = 3 (3 3) = 3 (327) = 3 (327 327), qu’on n’ose même pas imaginer écrit intégralement.
