Grandes figuras para grandes números

Los químicos hablan habitualmente del número de Avogadro, expresión que representa el número de partículas de un mol de materia: se escribe 6,02214076 × 10²³. Sin duda es un número «grande», pero los matemáticos, a menudo enfrentados a los cuadrados, los cubos, las diversas potencias n^ésimas y las exponenciales, que muy pronto se vuelven «inmensas», han tenido que inventar recursos de notación para escribirlas.

Una notación adecuada --------------------

Con el uso de los ordenadores se inventó la notación m $\uparrow \backslash uparrow$ n, que hoy se tiende a escribir simplemente m^n (marcando solo la punta de la flecha vertical) y que, para evocar *mⁿ, permite evitar los exponentes. Del mismo modo que la multiplicación es una suma iterada (m × n = m + m + … + m, n veces), la exponenciación no es sino una multiplicación iterada, pues mⁿ = m × m × … × m, donde figuran n copias del factor m*, algo que también expresa la notación de flechas.

La notación se generaliza a m $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ ­­n = m $\uparrow \backslash uparrow$ m $\uparrow \backslash uparrow$ … $\uparrow \backslash uparrow$ ­m, con n copias de m, y después a m $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ n = m $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ m $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ … $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ m, siempre con m escrito n veces, y luego a m $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ n = m $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ m $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ … $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ m, de nuevo con m escrito n veces. Esta notación fue introducida en 1976 por Donald Knuth, matemático estadounidense nacido en 1938 y pionero de la programación, quien llamó tetración a la doble flecha hacia arriba, pues designa una exponenciación iterada. Así, 3 $\uparrow \backslash uparrow$ 3 = 3³ = 27, 3 $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ 3 = 3 $\uparrow \backslash uparrow$ (3 $\uparrow \backslash uparrow$ 3) = 3 $\uparrow \backslash uparrow$ 27 = 7 625 597 484 987… y se comprende enseguida la utilidad de esta notación, que permite escribir de forma «compacta» números muy grandes. En efecto, sin ella resulta muy difícil escribir el número 3 $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ 3 = 3 $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ (3 $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ 3) = 3 $\uparrow \backslash uparrow$ $\uparrow \backslash uparrow$ (3²⁷) = 3 $\uparrow \backslash uparrow$ (3²⁷ $\uparrow \backslash uparrow$ 3²⁷), que ni siquiera nos atrevemos a imaginar escrito por completo.

Grandes números con nombre propio --------------------------------------------