Si denotamos por π(x) el número de números primos menores que x y por li(x) el logaritmo integral de x, es decir, ∫0xdtln(t),\int_{0}^{x}\frac{dt}{ln(t)}, el teorema de los números primos, demostrado independientemente por Hadamard y La Vallée Poussin en 1896, indica que π(x) y li(x) son equivalentes cuando x tiende a infinito. Los primeros cálculos parecen mostrar que siempre se tiene π(x) < li(x). Pero, en 1914, el inglés John Edensor Littlewood demostró que la diferencia π(x) – li(x) cambia de signo infinitas veces.
En 1859, Riemann había observado que la distribución de los números primos está ligada al comportamiento de la función zeta dada por ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3 s + 1/4s + ...
La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros no triviales de la ecuación ζ(s) = 0 son complejos y se encuentran en la recta de ecuación Re(s) = 1/2. Hasta la fecha, esta hipótesis, que tiene importantes consecuencias para los números primos, sigue sin demostrarse y es uno de los siete problemas del milenio, cuya resolución está recompensada con un premio de un millón de dólares.
Stanley Skewes, que había sido alumno de Littlewood, demostró en 1933, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann, que existe un valor x menor que eee79\text{e}^{\text{e}^{\text{e}^{79}}} (valor ligeramente inferior a 1010103410^{10^{10^{34}}}) tal que π(x) > li(x).
Esta cota recibe el nombre de primer número de Skewes. Después, en 1955, sin utilizar la hipótesis de Riemann, estableció otra cota, mayor, llamada segundo número de Skewes. Desde entonces, estas cotas, que pueden calificarse de gigantescas, se han rebajado considerablemente.