Se indichiamo con π(x) il numero di numeri primi minori di x e con li(x) il logaritmo integrale di x, ossia il teorema dei numeri primi, dimostrato indipendentemente da Hadamard e La Vallée Poussin nel 1896, afferma che π(x) e li(x) sono equivalenti quando x tende all’infinito. I primi calcoli sembrano mostrare che si abbia sempre π(x) < li(x). Ma nel 1914 l’inglese John Edensor Littlewood dimostrò che la differenza π(x) – li(x) cambia segno infinite volte.
Nel 1859 Riemann osservò che la distribuzione dei numeri primi è legata al comportamento della funzione zeta data da ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3 s + 1/4s + ...
L’ipotesi di Riemann afferma che tutte le soluzioni non banali dell’equazione ζ(s) = 0 sono complesse e si trovano sulla retta di equazione Re(s) = 1/2. A oggi questa ipotesi, che ha quindi conseguenze importanti sui numeri primi, non è ancora stata dimostrata ed è uno dei sette problemi del millennio, la cui risoluzione è ricompensata con un premio di un milione di dollari.
Stanley Skewes, allievo di Littlewood, dimostrò nel 1933, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, che esiste un valore x minore di (valore leggermente inferiore a ) tale che π(x) > li(x).
Questo limite è chiamato primo numero di Skewes. Poi, nel 1955, senza ricorrere all’ipotesi di Riemann, ne fornì un altro, più grande, chiamato secondo numero di Skewes. Da allora questi valori, che si possono definire giganteschi, sono stati drasticamente ridotti.
