Éric Trouillot : le calcul mental, chemin vers la jubilation | Tangente

Tangente : En quoi la gymnastique du calcul mental peut aider l’apprentissage des mathématiques ?**

Éric Trouillot : L’aisance en calcul mental est la relation intime que chacun de nous tisse avec les nombres et les opérations. Nous en avons tous quotidiennement besoin. Ressenti, ordres de grandeur, liaisons entre nombres… le répertoire mental d’un individu est un peu la caisse à outils numériques dont il dispose pour résoudre des problèmes courants. Du point de vue de l’enseignement, les nombres et les opérations sont omniprésents dans la résolution de problèmes aussi bien à l’école primaire qu’au collège, et ce n’est qu’à partir du lycée que les mathématiques s’affranchissent progressivement des nombres. Récemment, à l’occasion du salon Culture et jeux mathématiques de Paris, un étudiant de l’École normale supérieure m’a raconté qu’avoir passé ses années d’école et de collège à se passionner pour les jeux mathématiques, à travailler sur les énigmes du concours Kangourou ou encore à jouer au Mathador, il avait la sensation que tout cela lui avait forgé un réseau de neurones particulier pour ses études de haut niveau. C’est après avoir été nourri de jeux mathématiques et numériques qu’il en est venu à faire des mathématiques totalement abstraites, sans le moindre nombre !

À l’arrivée des calculatrices dans les années soixante-dix, on a tous pensé, y compris dans les institutions de l’Éducation nationale, qu’elles allaient nous affranchir de l’enseignement du calcul, et, en particulier, du calcul mental. C’était aussi l’époque de la révolution des « maths modernes », qui visait à réformer l’enseignement. Dans l’état d’esprit de l’époque, une bonne partie de la géométrie et du calcul mental passait pour poussiéreuse. Celle-ci disparut donc des radars pendant plusieurs décennies. Du côté des enseignants, cela a placé la plupart des instituteurs et professeurs de mathématiques dans une situation très difficile. Du côté des élèves, le résultat a été une perte de sens sur le terrain des nombres et des opérations, dont nous ne nous sommes pas tout à fait remis.

On a finalement compris le caractère essentiel du calcul mental dans l’apprentissage, ou plus précisément l’importance de la mentalisation de la relation aux nombres et aux opérations. Cette mentalisation est essentielle pour poser les bases de la relation aux mathématiques. Comment un élève de primaire ou de collège peut-il espérer résoudre un problème sans disposer d’un minimum de fluidité mentale et d’aisance avec les nombres ? Pour bricoler, on ne va pas loin avec pour seuls outils un tournevis et une clé de dix !

Beaucoup d’élèves et d’adultes ont été formatés par cette façon de travailler : on écrit soigneusement les nombres d’une certaine manière, on tire des traits, on aligne les retenues, et à la fin on obtient le résultat si l’on a appliqué la méthode avec soin. Cette culture ancienne, qui voit le calcul posé comme le graal du calcul, n’incite pas à utiliser son cerveau pour effectuer l’opération de tête.

Après avoir longtemps eu une grande utilité sociétale, le calcul posé est désormais remplacé par la calculatrice, mais le résultat pour le calcul mental est le même. En mettant l’accent trop et trop vite sur les techniques écrites de calcul, on bloque chez beaucoup la véritable entrée dans l’univers des nombres et des opérations, en les vidant de leur sens avec des choses à faire sur les chiffres qui ne permettent pas de saisir la globalité d’un nombre.

Si je suis pressé et que je veux juste un ordre de grandeur, j’effectue 60 × 20, ce qui me donne très vite 1 200. Si, en revanche, je vise un résultat exact, la distributivité avec ses paquets est souvent efficace : je prends dix paquets de 59 ce qui fait 590, je double pour atteindre vingt paquets (résultat : 1 180), et je rajoute encore 59 pour obtenir le résultat : 1 239. Ce genre de pratique installe une véritable relation avec les nombres et engendre de la confiance. Avec le temps, cette aisance peut se transformer en jubilation.

Ce qui est important, c’est de toujours bien mettre en avant le raisonnement, c’est-à-dire les propriétés des nombres et des opérations qui permettent de mener à bien le calcul. Ce serait une erreur de ne valoriser systématiquement que la rapidité ou le résultat : c’est d’abord le cheminement qui est important. De la sorte, les automatismes qui s’acquièrent par une pratique régulière ne sont pas des réflexes venus de nulle part mais le prolongement naturel d’une véritable acquisition de connaissances.

Le plus important pour les années à venir va être de commencer par la culture mentale, en replaçant le calcul écrit dans le prolongement de cette mentalisation. On doit connaître quelques techniques opératoires, bien sûr, mais il faut reconnaître qu’on n’en a plus autant besoin que jadis. Il faut aussi comprendre que ces techniques ne sont pas le prolongement du calcul mental, les deux mondes sont mêmes en partie antagoniques ! En un sens, l’association elle-même des mots « calcul » et « mental » en est l’expression. Le calcul mental a en effet sa propre didactique, qui conduit par exemple à envisager les nombres de gauche à droite, respectant ainsi notre relation naturelle avec eux, et non de droite à gauche comme il est d’usage dans les techniques opératoires écrites.

Le triptyque de l’enseignement du calcul mental/posé/instrumenté doit céder la place au diptyque sociétal désormais en action : mental/instrumenté. Cela se fera par une didactique du calcul mental dans l’enseignement. Les nouveaux programmes de 2025 vont dans ce sens en déplaçant le curseur : beaucoup moins de posé (trop chronophage et non productif de sens), davantage de calcul mental réfléchi.

Cette période traduisait une visée trop rapide de l’abstraction, avec une vision dégradée de toute une dimension tactile, associée aussi aux tests et tâtonnements. Le triptyque manipuler/verbaliser/abstraire, en vogue actuellement, est beaucoup plus en phase avec l’approche plus naturelle des mathématiques qui consiste à commencer par observer, tester, manipuler, se questionnner pour éventuellement modéliser, l’abstraction étant l’étape ultime. Je pense que cette démarche s’applique exactement de la même façon pour les nombres et les opérations. L’automatisation devrait toujours être un prolongement de toutes ces phases intermédiaires, là où le sens se construit puis s’installe. Le neuroscientifique Stanislas Dehaene dit très bien que le cerveau est un organe qui teste et tâtonne en permanence. L’idée de la solution experte posée a priori est une bêtise si elle n’est pas le prolongement réfléchi de tests et de comparaisons entre différentes approches – exactement comme dans le calcul mental.

Le boulier, qui est utilisé dans de nombreux pays dans l’enseignement du calcul, permet une relation tactile aux nombres qui facilite certainement la construction d’automatismes. Il est d’ailleurs fascinant de voir les finales de concours de calcul mental dans ces pays (voir l'article "La pensée du boulier“), où les élèves bougent leurs doigts dans le vide comme si leur boulier était là : l’automatisation se prolonge jusqu’au bout des ongles ! La vitesse d’exécution des calculs est vertigineuse, presque surnaturelle.