analyse a posteriori

Une enseignante prépare une activité et imagine les démarches que ses élèves pourraient suivre. Après la séance, elle examine leurs productions, leurs réussites, leurs erreurs et les chemins qu'ils ont réellement empruntés.

L'analyse a posteriori est cette mise en regard du prévu et de l'observé. Elle ne sert pas seulement à constater qu'une séance a fonctionné ou non. Elle aide à repérer les écarts, puis à chercher ce que le déroulement effectif apprend sur la situation proposée et sur les raisonnements des élèves.

En didactique des mathématiques, l'analyse a posteriori est menée après une expérimentation ou une séquence d'enseignement. Elle confronte un cadre établi avant la séance — objectifs, consignes, réponses anticipées et déroulement prévu — aux traces effectivement recueillies pendant ou après celle-ci. Ces traces peuvent être des productions d'élèves, des démarches observées, des échanges ou des résultats.

La comparaison porte sur des éléments explicitement prévus et observables. Un écart peut confirmer une possibilité anticipée, révéler une stratégie inattendue ou signaler qu'une consigne n'a pas produit l'activité espérée. L'analyse cherche alors une interprétation appuyée sur les traces disponibles ; elle ne transforme pas une impression générale en conclusion certaine.

La démarche dépend donc de la qualité du scénario initial et du recueil effectué. Si rien n'a été formulé avant la séance, la confrontation devient imprécise. Si les observations sont partielles, les conclusions doivent rester limitées à ce qu'elles permettent réellement d'établir.

Supposons une séance où 24 élèves doivent résoudre l'équation 3x + 5 = 20, dans laquelle x désigne le nombre inconnu. L'enseignante prévoit que les élèves soustrairont 5 aux deux membres, puis diviseront les deux membres par 3.

1. Après la séance, elle classe les productions : 18 suivent les deux opérations prévues, 4 testent plusieurs valeurs et 2 s'arrêtent après avoir obtenu 3x = 15.

2. Elle confronte ces traces au scénario. La démarche anticipée apparaît bien, mais une stratégie par essais n'avait pas été prévue et deux productions montrent une procédure inachevée.

3. Elle vérifie la cohérence du relevé : 18 + 4 + 2 = 24, soit l'effectif annoncé. Elle peut ensuite étudier les quatre essais et les deux arrêts sans les confondre.

Le résultat de l'analyse n'est donc pas seulement un décompte de 18 productions suivant les deux opérations prévues. C'est une description argumentée des correspondances et des écarts entre les démarches attendues et les productions observées.

Après une séance. L'enseignant reprend ses objectifs et ses anticipations, puis les rapproche de productions précises. Si le but est seulement de noter les élèves, une évaluation convient mieux ; l'analyse a posteriori est pertinente lorsqu'il faut interpréter le déroulement et les démarches.

Après une expérimentation didactique. Le chercheur compare le dispositif prévu aux événements et résultats recueillis. Il distingue ce qui confirme les anticipations, ce qui les contredit et ce que les traces ne permettent pas de trancher.

Pour préparer une nouvelle mise en œuvre. Les écarts observés peuvent conduire à reformuler une consigne, modifier une variable de la situation ou prévoir une stratégie jusque-là absente. Cette révision reste fondée sur des traces, pas sur le seul souvenir de la séance.

Analyse a priori. Elle précède la séance et anticipe les stratégies, difficultés ou effets possibles du dispositif. L'analyse a posteriori vient après : dans l'exemple, prévoir la soustraction puis la division relève de l'analyse a priori ; classer les 18, 4 et 2 productions relève de l'analyse a posteriori.

Évaluation des élèves. Une évaluation vise notamment à apprécier des acquis à partir de critères. L'analyse a posteriori confronte plus largement un scénario aux faits observés. Compter 18 procédures abouties peut contribuer aux deux démarches, mais étudier la stratégie imprévue par essais répond à la seconde.

Compte rendu chronologique. Raconter successivement les événements décrit la séance. Une analyse a posteriori les rapporte aussi aux anticipations et aux questions posées avant l'observation. Sans cette confrontation, le récit ne suffit pas.

Prévisions trop vagues. Si le scénario indique seulement que les élèves « devraient réussir », aucun comportement précis ne peut être comparé. Il faut reformuler les anticipations en démarches ou résultats observables.

Traces incomplètes. Une feuille finale ne montre pas nécessairement tous les raisonnements qui l'ont produite. Le symptôme est une interprétation qui dépasse ce qui est écrit ou enregistré. Il faut limiter la conclusion, ou compléter le recueil lors d'une nouvelle séance.

Écart pris pour une cause. Observer que 4 élèves procèdent par essais établit un écart avec le scénario, pas la raison de leur choix. Il faut chercher d'autres indices avant d'attribuer ce comportement à la consigne, aux connaissances des élèves ou à une autre cause.

Résultat local généralisé. Les 24 productions de l'exemple décrivent cette séance et ce groupe. Sans données supplémentaires, elles ne prouvent pas que les mêmes répartitions apparaîtront dans toute classe confrontée à la même équation.

La didactique des mathématiques replace cette confrontation entre prévu et observé dans l'étude des conditions d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques.

L'article La proportionnalité : si cruciale, si difficile offre un terrain concret pour prolonger la réflexion sur les difficultés d'enseignement d'une notion mathématique.