Bachmann Friedrich

Imaginez une figure géométrique que l'on regarde dans un miroir : une symétrie transforme la figure tout en conservant sa structure. Friedrich Bachmann a proposé de prendre ces symétries comme point de départ pour construire une axiomatique de la géométrie.

Cette approche ne décrit donc pas seulement des points, des droites et des angles. Elle s'intéresse aux opérations de symétrie et à leurs propriétés, dans le prolongement des travaux de Johannes Hjelmslev.

Friedrich Bachmann (1909-1982) est un mathématicien allemand, petit-fils du mathématicien Paul Bachmann. Il étudie à Münster et à Berlin, puis obtient en 1933 son doctorat sous la direction de Heinrich Scholz. Après une habilitation à Marbourg en 1943, il occupe des postes universitaires à Königsberg, Berlin et Kiel.

Dans cette perspective, la symétrie orthogonale constitue le geste géométrique de référence : elle associe à une figure une figure réfléchie par rapport à un axe ou à un objet géométrique analogue. L'intérêt de l'approche est de faire apparaître les relations entre ces symétries et la structure de la géométrie. La théorie prolonge les travaux de Johannes Hjelmslev et se rattache à la théorie des groupes, qui étudie des opérations munies d'une composition. Une axiomatique est un ensemble de principes à partir desquels on organise et déduit les propriétés d'une théorie.

Cette définition concerne donc une théorie des fondements de la géométrie, et non une simple construction graphique. Bachmann l'a exposée notamment dans Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, dont le titre signifie « construire la géométrie à partir du concept de symétrie », ainsi que dans Ebene Spiegelungsgeometrie.

Considérons un segment horizontal dont le milieu est placé sur un axe vertical. On applique ensuite la symétrie orthogonale par rapport à cet axe.

Les données sont les suivantes : le segment a deux extrémités ; son milieu appartient à l'axe ; la transformation est une symétrie orthogonale.

Première étape : chaque extrémité est envoyée de l'autre côté de l'axe.
Deuxième étape : chaque point et son image sont situés à la même distance de l'axe.
Troisième étape : le milieu, qui appartient à l'axe, reste invariant.
Le segment image se confond donc avec le segment initial, car celui-ci est symétrique par rapport à l'axe.
Le contrôle consiste à vérifier simultanément la conservation du milieu et l'égalité des distances de part et d'autre de l'axe. Le gain conceptuel est précis : on vient d'établir une propriété d'une opération de symétrie, c'est-à-dire le type de propriété que le cadre axiomatique organise pour fonder la théorie géométrique. L'exemple ne constitue donc ni une liste d'axiomes ni une application complète de l'axiomatique de Bachmann.

Pour étudier une construction géométrique, on peut commencer par repérer les symétries orthogonales qui la laissent inchangée. Le geste consiste à observer l'axe de réflexion, puis à comparer chaque point avec son image.

Pour présenter les fondements d'une géométrie, l'approche de Bachmann fournit un angle centré sur les symétries plutôt que sur une liste isolée de figures. On la choisit lorsque les propriétés des réflexions constituent le phénomène à organiser.

L'axiomatique de Bachmann ne se confond pas avec une symétrie orthogonale particulière. La symétrie est l'opération géométrique prise comme point de départ ; l'axiomatique est le cadre de principes qui organise les propriétés de ces opérations. Le cas du segment invariant distingue le cadre théorique de l'exemple qu'il permet d'étudier.

Friedrich Bachmann ne doit pas non plus être confondu avec son grand-père Paul Bachmann. Le critère biographique est le lien familial : Friedrich travaille surtout en géométrie et en théorie des groupes, tandis que Paul est présenté comme spécialiste de théorie des nombres.

Une symétrie orthogonale ne signifie pas que toute figure devient différente. Une figure peut rester inchangée lorsqu'elle est déjà symétrique par rapport à l'axe ; dans ce cas, l'image coïncide avec la figure et l'invariance doit être contrôlée explicitement.

Le mot « axiomatique » ne désigne pas une méthode de dessin ni un catalogue de constructions. Il désigne ici une organisation fondée sur des principes. Pour éviter l'abus de langage, il faut réserver l'expression « axiomatique de Bachmann » à cette approche des fondements de la géométrie par les symétries orthogonales.

La source associe cette théorie à la géométrie et à la théorie des groupes, mais elle ne fournit pas la liste complète de ses axiomes. On peut néanmoins borner le rôle de ces principes : ils organisent les propriétés des symétries orthogonales pour permettre de construire et de déduire celles de la théorie géométrique ; une propriété vérifiée sur un segment, prise isolément, ne suffit donc pas à établir toute l'axiomatique. Il serait excessif d'en déduire une formulation détaillée ou une propriété supplémentaire sans consulter l'ouvrage concerné.

Le glossaire Bachmann Paul permet de distinguer le mathématicien Friedrich Bachmann de son grand-père Paul Bachmann et de situer leur relation familiale. Pour voir une autre approche des symétries, l'article Des symétries qui laissent les objets invariants met l'accent sur les objets qui restent inchangés par une transformation.