Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Bonferonni (inégalité de)
L'inégalité de Bonferroni est une inégalité probabiliste reliant la probabilité de l'union d'événements à des combinaisons de probabilités d'intersections. La forme la plus simple affirme que la probabilité de l'union est inférieure à la somme des probabilités individuelles. Les inégalités de Bonferroni généralisent l'inclusion-exclusion en fournissant des bornes alternativement supérieures et inférieures. En statistiques, elles sont utilisées pour contrôler le risque d'erreur de première espèce lors de tests multiples simultanés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le sens des bornes impaires et paires.
- Calculer un encadrement puis une probabilité exacte sur trois événements.
- Relier la borne simple au seuil α/m des tests multiples.
- Reconnaître une borne trop lâche ou une correction trop sévère.
En clair
Trois alarmes peuvent se déclencher au cours d'une même journée. Additionner leurs probabilités donne une estimation prudente du risque qu'au moins une sonne, car les journées où plusieurs alarmes retentissent sont alors comptées plusieurs fois. L'inégalité de Bonferroni garantit que cette somme ne sous-estime jamais le risque total.
Si l'on connaît aussi les chevauchements entre alarmes, on peut corriger ces doubles comptes. Les corrections successives encadrent alternativement la probabilité cherchée par une borne supérieure puis une borne inférieure.
Définition
Considérons un nombre fini n d'événements A1, …, An dans un même espace probabilisé. Pour chaque entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, la quantité Sk est la somme des probabilités de toutes les intersections de k événements distincts. Ainsi, S1 additionne les probabilités individuelles et S2 additionne celles de toutes les intersections deux à deux.
Les inégalités de Bonferroni encadrent la probabilité qu'au moins un événement se produise par les sommes partielles alternées de la formule d'inclusion-exclusion. Une somme arrêtée après un nombre impair de termes donne une borne supérieure ; arrêtée après un nombre pair de termes, elle donne une borne inférieure. La première borne supérieure est l'inégalité de l'union : .
Lorsque toutes les intersections jusqu'à l'ordre n sont connues, la somme complète n'est plus seulement une borne : elle est exactement la formule d'inclusion-exclusion. En tests multiples, la correction de Bonferroni applique la borne simple pour limiter la probabilité d'au moins un faux positif.
Le principe
Pour n événements A1, …, An, notons Sk la somme des probabilités de leurs intersections prises k à k. Pour tout entier m tel que 2m ≤ n, les sommes partielles vérifient :
La somme paire est donc une borne inférieure et la somme impaire une borne supérieure. En particulier, le cas réduit au premier terme donne P(A1 ∪ … ∪ An) ≤ S1.
Quand l'utiliser
Les événements doivent appartenir au même espace probabilisé et leur nombre doit être fini. La borne simple exige seulement leurs probabilités individuelles ; elle ne suppose ni indépendance ni incompatibilité. Pour calculer une somme de Bonferroni à l'ordre k, il faut connaître les sommes agrégées S1, …, Sk. Connaître chaque probabilité d'intersection jusqu'à cet ordre est une manière suffisante de les obtenir.
Si seules certaines intersections sont connues, supprimer arbitrairement les autres termes ne conserve pas nécessairement la borne annoncée : la somme alternée tronquée ne peut alors être utilisée sans justification. D'autres bornes valides peuvent toutefois être construites à partir de l'information partielle disponible. Pour une famille infinie dénombrable, on emploie plutôt la sous-additivité dénombrable ; la forme finie des sommes de Bonferroni ne s'applique pas telle quelle.
Un exemple, pas à pas
Trois alarmes A, B et C ont les probabilités 0,20, 0,15 et 0,10 de se déclencher dans la journée. Les probabilités de déclenchement simultané valent 0,04 pour A et B, 0,03 pour A et C, 0,02 pour B et C, et 0,01 pour les trois alarmes.
1. La somme des probabilités individuelles vaut S1 = 0,20 + 0,15 + 0,10 = 0,45. La borne simple donne donc P(A ∪ B ∪ C) ≤ 0,45.
2. La somme des intersections deux à deux vaut S2 = 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,09. La borne paire donne 0,45 − 0,09 = 0,36 ≤ P(A ∪ B ∪ C).
3. L'intersection triple vaut S3 = 0,01. Avec les trois ordres, l'inclusion-exclusion donne exactement 0,45 − 0,09 + 0,01 = 0,37.
2. La somme des intersections deux à deux vaut S2 = 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,09. La borne paire donne 0,45 − 0,09 = 0,36 ≤ P(A ∪ B ∪ C).
3. L'intersection triple vaut S3 = 0,01. Avec les trois ordres, l'inclusion-exclusion donne exactement 0,45 − 0,09 + 0,01 = 0,37.
La probabilité qu'au moins une alarme sonne est donc 0,37, soit 37 %. Le contrôle est immédiat : 0,36 ≤ 0,37 ≤ 0,45, conformément aux deux bornes de Bonferroni. La figure met en regard ces trois valeurs sur une même échelle.
En pratique
Dans une étude comportant un nombre m de tests et visant un risque familial α, on peut tester chaque hypothèse au seuil α/m. À condition que, sous chaque hypothèse nulle, le test correspondant contrôle individuellement la probabilité de rejet erroné au niveau α/m, la borne simple garantit alors que la probabilité d'au moins un rejet erroné ne dépasse pas α, même si les tests sont dépendants.
Pour une première estimation d'un risque cumulé, on additionne les risques individuels. Si les chevauchements sont importants et mesurables, les termes d'intersection donnent un encadrement plus serré ; sinon, la somme simple reste prudente mais peut être très large.
Lorsque le nombre de tests est grand et que la correction devient trop sévère, une méthode adaptée au contrôle recherché peut être préférable. Le choix dépend notamment du fait que l'on veuille contrôler au moins une erreur ou plutôt la proportion attendue de faux positifs.
À ne pas confondre
Inégalités de Bonferroni et correction de Bonferroni. Les premières encadrent une probabilité d'union ; la seconde est une procédure de tests multiples fondée sur la borne supérieure la plus simple. Si un calcul alterne des probabilités d'intersections, il mobilise les inégalités générales, pas seulement la correction statistique.
Contrôle du risque familial et contrôle du taux de fausses découvertes. Le premier borne la probabilité d'au moins un faux positif dans la famille de tests. Le second porte sur la proportion de faux positifs parmi les résultats déclarés significatifs. Une exigence formulée comme « aucune erreur avec forte probabilité » relève du premier objectif.
Limites et pièges
Une borne peut dépasser 1. Si les probabilités individuelles totalisent 1,30, la conclusion P(∪Ai) ≤ 1,30 reste vraie mais n'apporte rien de mieux que la borne universelle 1. Il faut alors utiliser au minimum min(1, S1) ou intégrer des intersections connues.
Les chevauchements rendent la borne simple lâche. Si dix événements sont en réalité identiques et ont chacun une probabilité 0,10, leur union vaut 0,10 tandis que leur somme vaut 1. Le symptôme est une forte redondance ; les intersections ou une modélisation commune doivent être prises en compte.
Le sens de la borne dépend de la parité. Oublier un terme négatif peut transformer une borne inférieure annoncée en valeur injustifiée. Après 1, 3 ou 5 ordres, la somme est supérieure ; après 2, 4 ou 6 ordres, elle est inférieure. Il faut compter les ordres retenus avant d'interpréter le résultat.
La correction des tests peut manquer de puissance. Avec 100 tests et un risque familial α = 0,05, chaque seuil devient 0,0005. Un effet réel peut alors ne pas être détecté ; si l'objectif scientifique porte sur les fausses découvertes plutôt que sur toute erreur familiale, il faut choisir une procédure correspondant à cet autre critère.
Pour aller plus loin
La fiche Erreur de première espèce précise le faux positif dont la correction de Bonferroni contrôle le risque global.
La fiche Test d'hypothèse replace le seuil individuel et la décision statistique dans leur cadre général.
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