code de Gauss

Imaginez que vous suiviez du doigt une boucle dessinée qui se croise trois fois. Chaque croisement reçoit un numéro. Au fil du parcours, vous notez ce numéro et, pour un diagramme de nœud, si le brin suivi passe au-dessus ou au-dessous.

La suite obtenue est le code de Gauss. Chaque numéro y revient deux fois, car la boucle rencontre chacun de ses croisements par deux branches. Le dessin est ainsi remplacé par un mot fini que l'on peut comparer et étudier.

Un code de Gauss décrit le parcours d'une courbe plane fermée ayant un nombre fini de points doubles transverses. Un point double est un point où deux branches distinctes se rencontrent. Il est transverse lorsque leurs tangentes y sont distinctes : une tangence ou un point où trois branches se rencontrent sort donc de ce cadre.

Si la courbe possède n croisements, on les numérote de 1 à n. Après le choix d'un point de départ qui n'est pas un croisement et d'un sens de parcours, on relève successivement les croisements rencontrés. Le mot comporte alors 2n occurrences, et chaque numéro apparaît exactement deux fois. Pour un diagramme de nœud, chaque occurrence peut aussi porter S pour un passage supérieur et I pour un passage inférieur. Cette donnée dessus-dessous appartient au diagramme de nœud ; elle n'est pas fournie par une simple courbe plane immergée.

Le point de départ, le sens de parcours et la numérotation sont des conventions : les changer modifie l'écriture sans nécessairement modifier le dessin décrit. Un diagramme de Gauss place les 2n occurrences dans l'ordre sur un cercle et relie les deux occurrences de chaque croisement.

On rencontre ce codage devant le dessin d'une seule boucle fermée qui se recoupe. Quatre marqueurs sont visibles : un point de départ choisi hors des croisements, une flèche de parcours, des numéros répétés aux croisements et, dans un diagramme de nœud, l'interruption graphique du brin inférieur.

Le support peut être la courbe elle-même, le mot écrit dans l'ordre du parcours ou un cercle portant les occurrences reliées deux à deux. Ces trois présentations portent l'ordre des rencontres ; seule une information supplémentaire précise quel brin passe au-dessus dans un diagramme de nœud.

La grandeur à lire est un ordre de passage, et non une distance. Premièrement, repérez le point de départ et le sens choisi. Deuxièmement, lisez les symboles dans cet ordre. Troisièmement, associez les deux occurrences portant le même numéro. Quatrièmement, si des lettres S et I sont présentes, interprétez-les comme passage supérieur et passage inférieur.

Dans le diagramme circulaire de l'exemple, le tour du cercle donne 1S, 2I, 3S, 1I, 2S, 3I ; chaque corde joint les deux passages au même croisement. L'œil peut croire que l'intersection de deux cordes représente un nouveau croisement de la courbe. Ce n'est pas le cas : seules les extrémités portant le même numéro codent un croisement.

Une boucle orientée possède trois croisements numérotés 1, 2 et 3. Le point de départ est fixé hors d'un croisement. La lettre S indique que le brin parcouru passe au-dessus ; la lettre I indique qu'il passe au-dessous.

1. Au premier tour de lecture, les rencontres successives sont 1S, 2I et 3S.
2. Le parcours continue par les seconds passages 1I, 2S et 3I.
3. Le mot de Gauss complet est donc 1S, 2I, 3S, 1I, 2S, 3I.
4. En oubliant la donnée dessus-dessous, le mot sous-jacent est 1, 2, 3, 1, 2, 3.

Le contrôle est direct : la liste contient six occurrences, soit deux fois les trois croisements, et chacun des numéros 1, 2 et 3 apparaît exactement deux fois. Chaque numéro porte aussi une fois S et une fois I dans cet exemple. Le diagramme circulaire rend ces trois appariements visibles.

Pour comparer deux dessins très enchevêtrés, on relève leurs mots de Gauss. Si une différence disparaît après un changement de point de départ, de sens ou de numérotation, elle venait de la convention d'écriture et non forcément de la structure parcourue.

Pour conserver les passages d'un diagramme de nœud, on annote chaque occurrence par dessus ou dessous. Un mot non annoté suffit lorsqu'on étudie seulement l'ordre des branches d'une courbe plane ; il ne suffit plus pour retrouver les informations de franchissement du nœud.

Pour visualiser l'entrelacement des occurrences, on passe au diagramme de Gauss : les symboles sont posés sur un cercle et les occurrences identiques sont reliées. Cette représentation est préférable au mot seul lorsqu'il faut repérer rapidement quelles paires alternent.

Le mot de Gauss est la suite ordonnée des rencontres ; le diagramme de Gauss est sa représentation circulaire par des cordes. La présence d'un cercle et de segments reliant des occurrences identiques tranche immédiatement.

Un code de Gauss n'est pas un dessin du graphe planaire formé par la courbe. Le graphe conserve des sommets et des arêtes adjacentes dans le plan ; le code consigne l'ordre d'un parcours. Deux écritures différentes peuvent donc venir du même dessin après déplacement du départ ou renumérotation.

Une liste où un numéro n'apparaît pas exactement deux fois n'est pas le code d'une courbe fermée à seuls points doubles transverses. Il faut corriger le relevé ou adopter un formalisme adapté aux intersections multiples.

La condition “chaque symbole apparaît deux fois” est nécessaire, mais elle ne garantit pas à elle seule qu'un mot abstrait soit réalisable par une courbe plane. Il faut encore appliquer un critère de réalisabilité ou construire effectivement une immersion plane.

Une tangence, un rebroussement ou une rencontre de trois branches ne constitue pas un point double transverse. Le symptôme est l'absence de deux tangentes distinctes appartenant à exactement deux branches ; on perturbe alors le dessin ou on emploie un codage plus général.

Le mot dépend de choix auxiliaires. Changer le point de départ produit une permutation cyclique, inverser le parcours renverse l'ordre, et renuméroter remplace uniformément les étiquettes. Une comparaison fiable doit neutraliser ces changements avant de conclure à une différence.

L'article Classer les nœuds montre pourquoi un codage combinatoire aide à distinguer et organiser les diagrammes de nœuds.

L'article Entrelacs et graphes, un lien réciproque prolonge le passage d'un entrelacement géométrique à une structure de graphe.