AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Reidemeister
Deux nœuds de l’espace sont équivalents lorsqu’une déformation continue, sans coupure ni auto-intersection, transforme l’un en l’autre. Le théorème de Reidemeister affirme que cela arrive si et seulement si leurs diagrammes, avec l’information dessus-dessous aux croisements, se relient par une suite finie de déformations planes et de mouvements de Reidemeister ; il ramène ainsi une question topologique à des transformations locales de diagrammes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois types de mouvements de Reidemeister.
- Relier une déformation spatiale d’un nœud à des transformations locales de son diagramme.
- Suivre la suppression réversible d’une boucle par un mouvement de type I.
- Reconnaître les limites d’une recherche naïve qui ne ferait que réduire les croisements.
En clair
Imaginez une ficelle fermée dont on dessine l’ombre sur une feuille. Le dessin peut gagner une petite boucle, voir deux brins se déplacer ensemble ou laisser un brin glisser devant un croisement, sans que la ficelle soit coupée ni recollée.
Le théorème de Reidemeister affirme que trois gestes locaux de ce genre suffisent. Si deux dessins représentent le même nœud, une suite finie de ces gestes transforme l’un en l’autre ; réciproquement, chaque geste conserve le nœud représenté.
Définition
Un diagramme de nœud est une projection plane d’une courbe fermée plongée dans l’espace, complétée à chaque croisement par l’indication du brin qui passe au-dessus. Deux nœuds sont équivalents lorsqu’une déformation continue de l’espace transforme l’un en l’autre sans faire traverser la courbe par elle-même.
Les trois mouvements de Reidemeister modifient seulement une petite zone du diagramme. Le type I crée ou supprime une boucle portant un croisement. Le type II crée ou supprime deux croisements formés par deux brins voisins. Le type III fait glisser un brin au-delà d’un croisement et conserve les trois croisements concernés. Hors de la zone modifiée, le diagramme reste identique.
Le théorème donne une équivalence complète : deux diagrammes représentent des nœuds équivalents si et seulement si une suite finie de ces trois types de mouvements, accompagnée de déformations du dessin qui ne créent aucun croisement, relie les diagrammes. Il transforme ainsi une question dans l’espace en une recherche combinatoire sur des dessins plans munis de leurs passages dessus-dessous.
Le principe
Soient deux diagrammes plans de nœuds, avec l’information dessus-dessous indiquée à chaque croisement. Si les nœuds représentés sont équivalents par déformation continue sans auto-intersection, alors une suite finie de mouvements de Reidemeister de types I, II et III relie leurs diagrammes, à déformation plane près. Réciproquement, si une telle suite existe, les deux diagrammes représentent des nœuds équivalents.
Quand l'utiliser
Le théorème s’applique à des diagrammes de courbes fermées plongées dans l’espace tridimensionnel. Chaque croisement apparent doit préciser quel brin passe au-dessus et quel brin passe au-dessous. La transformation recherchée doit rester une déformation continue : aucun brin ne traverse un autre brin et la courbe n’est ni coupée ni recollée.
Un dessin où les croisements ne portent aucune information dessus-dessous ne suffit donc pas. Deux tracés identiques comme courbes planes peuvent coder des nœuds différents si cette information change. Il faut d’abord compléter le diagramme ; sans cela, le critère de Reidemeister ne peut pas être appliqué.
Un exemple, pas à pas
Considérons deux diagrammes fermés. Le premier est presque circulaire, mais porte une petite boucle avec un unique croisement ; le second est un cercle sans croisement. L’information dessus-dessous du premier diagramme est indiquée au point de croisement.
1. On repère la petite boucle isolée : elle ne rencontre aucune autre partie du diagramme.
2. On applique un mouvement de type I dans cette seule zone.
3. La boucle et son unique croisement disparaissent ; le reste du tracé ne change pas.
4. Une déformation plane arrondit alors le tracé obtenu en cercle.
2. On applique un mouvement de type I dans cette seule zone.
3. La boucle et son unique croisement disparaissent ; le reste du tracé ne change pas.
4. Une déformation plane arrondit alors le tracé obtenu en cercle.
Le premier diagramme et le cercle représentent donc le même nœud. Le contrôle est réversible : en repartant du cercle, le mouvement de type I inverse recrée exactement une petite boucle et un croisement.
En pratique
Pour simplifier un diagramme, on cherche d’abord une petite boucle supprimable par le type I ou une paire de croisements supprimable par le type II. Chaque suppression réduit le nombre de croisements et rend la suite plus lisible.
Le type III devient utile lorsqu’aucune suppression immédiate n’est visible. Il déplace un brin autour d’un croisement sans changer leur nombre et peut faire apparaître ensuite une configuration de type I ou II.
Pour montrer que deux diagrammes représentent le même nœud, on fournit une suite explicite de mouvements. Pour montrer qu’ils sont différents, cette recherche ne suffit pas toujours ; on préfère alors un invariant qui prend des valeurs différentes sur les deux diagrammes.
À ne pas confondre
Mouvement de Reidemeister et déformation arbitraire du dessin. Un mouvement de Reidemeister appartient à l’un des trois types locaux et conserve les passages dessus-dessous imposés. Faire traverser un brin par un autre change cette information et peut changer le nœud.
Équivalence et ressemblance visuelle. Deux diagrammes très différents peuvent représenter le même nœud si une suite finie de mouvements les relie. À l’inverse, des courbes planes semblables ne donnent pas nécessairement le même nœud lorsque leurs passages dessus-dessous diffèrent.
Mouvements et invariants de nœuds. Les mouvements transforment un diagramme sans changer le nœud. Un invariant, lui, associe une information au nœud ; il sert notamment à détecter une différence lorsque deux valeurs ne coïncident pas.
Limites et pièges
Une suite introuvable n’est pas une preuve de différence. Le théorème garantit l’existence d’une suite finie pour des nœuds équivalents, mais il ne fournit pas automatiquement cette suite. Une recherche qui bloque doit être poursuivie autrement ou complétée par l’étude d’un invariant.
Le nombre de croisements intermédiaires peut augmenter. Vouloir seulement supprimer des croisements peut empêcher d’avancer. Un mouvement inverse de type I ou II, ou un type III qui conserve le nombre de croisements, peut être nécessaire avant une simplification ultérieure.
Un croisement du diagramme n’est pas une auto-intersection du nœud. Il représente deux points distincts de la courbe projetés au même endroit. Si la courbe spatiale traverse réellement elle-même, on sort du cadre des déformations autorisées.
Pour aller plus loin
L’article Classer les nœuds replace les transformations de diagrammes dans le problème général de la reconnaissance et de la classification des nœuds.
La fiche Invariant présente le principe d’une information qui demeure inchangée sous les transformations autorisées et aide à distinguer des objets.
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