entrelacs - théorie des noeuds -

Imaginez deux anneaux fermés dans l’espace. Ils forment un entrelacs si on les considère ensemble, qu’ils soient accrochés l’un à l’autre ou complètement séparés. Chaque anneau est une composante. On peut le déformer, l’étirer ou le déplacer, mais jamais le couper ni le faire traverser un autre anneau.

Un dessin sur une feuille indique quel brin passe au-dessus à chaque croisement. Cette information permet de retrouver la disposition spatiale que le dessin aplati ne montre plus directement.

Un entrelacs à n composantes est le plongement dans l’espace à trois dimensions de n cercles disjoints. « Plongement » signifie ici que chaque cercle reste fermé, sans auto-intersection, et que deux composantes ne se coupent pas. Une seule composante donne un nœud ; plusieurs composantes généralisent donc la notion de nœud. Un entrelacs peut être non enlacé : la possibilité d’un accrochage mutuel n’est pas une condition de sa définition.

Deux entrelacs représentent le même type si une déformation continue de l’espace transforme l’un en l’autre sans coupe ni traversée. La taille, la forme géométrique précise, la couleur et l’orientation choisie ne définissent pas ce type topologique. Le nombre de composantes, en revanche, est conservé.

Un diagramme plan dessine les composantes avec des interruptions conventionnelles pour signaler le brin inférieur aux croisements. Différents diagrammes peuvent représenter le même entrelacs. Des invariants, calculés à partir d’un diagramme mais inchangés par les déformations autorisées, servent à distinguer certains types. Cette étude possède notamment des connexions avec la théorie des graphes et la cryptographie ; les mêmes formes nourrissent aussi des motifs géométriques dans les arts celtique, arabe et médiéval.

Considérons le diagramme orienté de l’entrelacs de Hopf représenté par la figure. Nous adoptons la convention suivante : vu de face, un croisement est de signe +1 si, en plaçant l’index de la main droite dans le sens du brin supérieur et le majeur dans celui du brin inférieur, le pouce pointe vers l’observateur ; il est de signe −1 dans le cas opposé. Les données sont deux composantes fermées et deux croisements entre composantes ; en suivant les flèches et les passages dessus-dessous de la figure, chacun de ces croisements est de signe +1 avec cette convention.

1. On suit chaque tracé jusqu’à revenir à son point de départ : le diagramme contient bien deux composantes.

2. On ne retient que les croisements où les deux brins appartiennent à des composantes différentes. Il y en a deux.

3. On additionne leurs signes, puis on divise par deux. Le nombre d’enlacement, noté ℓ, vaut donc $\mathrm{\ell }=\frac{(+1)+(+1)}{2}=1\backslash ell=\backslash frac\{(+1)+(+1)\}\{2\}=1$.

Le résultat exact ℓ = 1 prouve que les deux composantes ne peuvent pas être séparées par une déformation autorisée. Pour contrôler le calcul, inverser l’orientation d’une seule composante change les deux signes et donne ℓ = −1 ; la valeur absolue reste 1.

Pour lire un diagramme, on repère d’abord les boucles fermées, puis on suit les passages au-dessus et au-dessous. Un dessin sans ces indications ne suffit pas dès que des brins se croisent.

Pour comparer deux dessins, on cherche une déformation sans coupe ni traversée et on calcule des invariants. Une ressemblance visuelle seule est moins fiable, car un même entrelacs admet des diagrammes très différents.

Dans un motif ornemental, on vérifie si les rubans se referment et si les alternances dessus-dessous sont explicites. Si les tracés ont des extrémités, le modèle mathématique d’un entrelacs fermé n’est pas adapté sans convention supplémentaire.

Entrelacs et nœud. Un nœud possède exactement une composante fermée ; un entrelacs peut en posséder plusieurs. Deux anneaux fermés considérés ensemble forment donc un entrelacs à deux composantes, même s’ils sont séparés.

Entrelacs et graphe. Un graphe peut avoir des sommets où plusieurs arêtes se rejoignent. Les croisements d’un diagramme d’entrelacs ne sont pas des sommets : un brin passe au-dessus de l’autre sans contact.

Entrelacs et motif entrelacé. Un ornement peut montrer des rubans ouverts ou des croisements sans convention de hauteur. Il ne représente un entrelacs au sens topologique que si ses composantes sont fermées, disjointes et spatialement interprétables.

Un croisement apparent n’est pas une intersection. Dans un diagramme régulier, l’interruption du brin inférieur indique deux hauteurs différentes. Si les courbes se touchent réellement dans l’espace, elles ne forment plus un entrelacs au sens de la définition.

Le nombre de croisements du dessin n’est pas directement un invariant. Une déformation du diagramme peut créer ou supprimer des croisements sans changer l’entrelacs. Il faut employer un invariant calculé avec ses conventions, ou considérer le nombre minimal de croisements parmi tous les diagrammes.

Un nombre d’enlacement nul ne prouve pas la séparation. Les contributions signées peuvent s’annuler alors que les composantes restent liées. Une valeur non nulle prouve l’enlacement, mais la réciproque est fausse ; il faut alors un invariant plus fin.

L’orientation change le signe, pas le type non orienté. Inverser une seule composante remplace ℓ par −ℓ. Pour une comparaison qui ignore les orientations, on peut donc retenir |ℓ|, tout en conservant la convention employée dans le calcul.

Classer les nœuds présente le rôle des invariants lorsque l’intuition visuelle ne suffit plus à reconnaître un type topologique.

Entrelacs et graphes, un lien réciproque développe la connexion entre diagrammes d’entrelacs et structures de graphes annoncée dans la définition.