ArithmétiqueNotion · Glossaire
mouvements de Reidemeister
Les mouvements de Reidemeister sont trois modifications locales d’un diagramme de nœud, réalisables par déformation continue du fil dans l’espace, sans le couper ni le recoller. Deux diagrammes représentent le même nœud si et seulement si, à déformation du dessin dans le plan près, une suite finie de ces mouvements permet de passer de l’un à l’autre : ils servent ainsi à reconnaître ou simplifier différentes représentations d’un même nœud.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le changement local propre à chacun des types I, II et III.
- Suivre une transformation réversible entre deux diagrammes équivalents.
- Éviter de prendre le nombre de croisements pour une quantité conservée.
En clair
Imaginez le dessin aplati d’une ficelle fermée : certains morceaux passent au-dessus ou au-dessous d’autres morceaux. Sans couper la ficelle, on peut faire apparaître ou disparaître une petite boucle, écarter deux brins qui se croisent deux fois de suite, ou faire glisser un brin à travers le croisement formé par deux autres.
Ces trois gestes locaux sont les mouvements de Reidemeister. Ils changent l’allure du diagramme, mais pas le nœud qu’il représente.
Définition
Un mouvement de Reidemeister est une modification locale d’un diagramme plan de nœud. La modification n’agit que dans une petite zone ; le reste du diagramme demeure inchangé. Elle respecte la déformation continue du nœud dans l’espace : le fil n’est ni coupé ni recollé.
Il existe trois types. Le type I ajoute ou retire une boucle et un croisement. Le type II crée ou supprime ensemble deux croisements consécutifs entre deux brins. Le type III fait glisser un brin à travers le croisement de deux autres portions du diagramme, en respectant les passages au-dessus et au-dessous, sans créer ni supprimer de croisement. Chacun de ces gestes peut être effectué dans les deux sens.
En considérant comme indifférents les simples déplacements du dessin dans le plan qui ne changent aucun croisement, le théorème de Reidemeister relie cette manipulation plane à l’équivalence des nœuds : deux diagrammes représentent le même nœud si et seulement si une suite finie de ces mouvements permet de passer de l’un à l’autre. Le diagramme est donc une représentation variable ; l’objet étudié est le nœud à déformation continue près.
Un exemple, pas à pas
On part d’un diagramme nommé D et l’on choisit trois petites zones disjointes. Dans la première, un brin est seul ; dans la deuxième, deux brins sont voisins ; dans la troisième, un brin longe le croisement de deux autres. Hors de ces zones, le dessin restera identique.
Trois gestes contrôlés
1. Dans la première zone, on forme une petite boucle : c’est un mouvement de type I et le diagramme gagne un croisement.
2. Dans la deuxième, on rapproche les deux brins de façon à créer deux croisements consécutifs : c’est un type II.
3. Dans la troisième, on fait glisser le brin sous le croisement voisin : c’est un type III et le nombre de croisements ne change pas.
2. Dans la deuxième, on rapproche les deux brins de façon à créer deux croisements consécutifs : c’est un type II.
3. Dans la troisième, on fait glisser le brin sous le croisement voisin : c’est un type III et le nombre de croisements ne change pas.
Le diagramme obtenu, nommé D′, compte donc trois croisements de plus que D. La figure rend visibles les trois changements locaux sans modifier les portions extérieures.
Le contrôle est réversible : on refait le type III en sens inverse, puis on supprime la paire du type II et enfin la boucle du type I. On retrouve exactement D ; D et D′ représentent donc le même nœud.
En pratique
Pour simplifier un diagramme, on cherche d’abord une boucle isolée ou deux croisements consécutifs qui peuvent disparaître. Un type I ou II inverse est alors préférable à un simple déplacement du dessin, car il réduit réellement le nombre de croisements.
Lorsqu’un brin masque une configuration utile sans offrir de boucle ni de paire supprimable, le type III fait glisser ce brin à travers le croisement de deux autres, en conservant les passages au-dessus et au-dessous. Il réorganise la zone sans changer le nombre total de croisements.
Pour établir que deux dessins représentent le même nœud, on note chaque mouvement appliqué et son sens. Une suite explicite de types I, II et III constitue un contrôle que l’on peut refaire à rebours.
À ne pas confondre
Le nœud et son diagramme. Le nœud est l’objet que l’on déforme sans couper le fil ; le diagramme est sa représentation plane. Deux dessins d’allures différentes peuvent donc représenter le même nœud.
Équivalence et identité graphique. Une rotation ou un étirement du dessin peut laisser tous les croisements en place. Un mouvement de Reidemeister, lui, correspond à l’un des trois changements locaux précis. Dans les deux cas, l’apparence peut varier sans produire un nouveau nœud.
Limites et pièges
Un changement local doit correspondre à l’un des trois types. Si un brin traverse librement un autre brin ou si le fil est coupé, le symptôme est un croisement modifié sans boucle, paire consécutive ni glissement autorisé. Il faut alors revenir au dernier diagramme valide.
Le nombre de croisements n’est pas conservé. Un type I le modifie d’une unité et un type II de deux unités ; seul le type III le laisse inchangé. Deux diagrammes équivalents ne sont donc pas tenus d’avoir le même nombre de croisements.
L’existence d’une suite n’indique pas sa longueur minimale. Le théorème garantit une suite finie pour deux diagrammes du même nœud. Une tentative qui ne trouve pas rapidement cette suite ne prouve donc pas que les nœuds sont différents ; il faut chercher d’autres zones locales ou un autre ordre de mouvements.
Pour aller plus loin
La question suivante consiste à reconnaître quels diagrammes appartiennent au même nœud et à organiser les nœuds en classes. L’article Classer les nœuds prolonge cette démarche en montrant comment distinguer et répertorier les formes nouées.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres