comma - musicologie -

Accordez une suite de notes avec des quintes parfaitement pures, puis ramenez-les dans la même zone de hauteur en changeant d'octave. Après un tour complet, la dernière note ne rejoint pas exactement la première : un minuscule écart subsiste. Cet écart est un comma.

Le comma est faible, mais il compte dès que plusieurs intervalles doivent cohabiter sur un instrument à sons fixes. Le tempérament répartit ou déplace alors l'écart afin de rendre l'accordage utilisable.

Un comma est un micro-intervalle défini par un rapport entre deux fréquences très proches. Il apparaît lorsque deux constructions d'intervalles, chacune fondée sur des rapports purs, devraient conduire à une même note mais aboutissent à des hauteurs légèrement différentes. Il intervient donc dans l'accordage des instruments à sons fixes et dans le choix d'un tempérament.

Le comma pythagoricien compare douze quintes pures à sept octaves. Son rapport exact vaut $\frac{(3\mathrm{/}2{)}^{12}}{2^7}=\frac{531441}{524288}\backslash frac\{(3/2)^\{12\}\}\{2^7\}=\backslash frac\{531441\}\{524288\}$, soit environ 23,5 cents. Le comma syntonique, de rapport 81/80, vaut environ 21,5 cents et sépare la tierce majeure pythagoricienne de la tierce majeure pure. Le comma enharmonique, de rapport 128/125, vaut environ 41 cents et intervient dans les tempéraments mésotoniques.

Ces trois noms ne désignent donc pas une valeur unique. Chaque comma dépend des deux chemins d'accordage comparés. Sa petitesse n'annule pas son effet : accumulé ou concentré, l'écart peut produire une dissonance audible et impose un compromis de tempérament.

On compare deux chemins censés ramener à la même classe de note. Données :
— une quinte pure multiplie la fréquence par 3/2 ;
— une octave la multiplie par 2 ;
— le premier chemin comporte douze quintes ;
— le second comporte sept octaves.

1. Multiplier douze fois par 3/2 donne le facteur (3/2)¹².

2. Monter de sept octaves donne le facteur 2⁷.

3. Comparer les deux résultats revient à calculer leur quotient : $\frac{(3\mathrm{/}2{)}^{12}}{2^7}=\frac{531441}{524288}\approx \mathrm{1,01364}\backslash frac\{(3/2)^\{12\}\}\{2^7\}=\backslash frac\{531441\}\{524288\}\backslash approx\; 1\{,\}01364$.

4. Le quotient dépasse 1 : le chemin des douze quintes arrive légèrement plus haut. L'écart est le comma pythagoricien, environ 23,5 cents. Pour contrôler le calcul, on développe les puissances : 3¹² = 531441 et 2¹⁹ = 524288 ; leur quotient redonne bien 531441/524288.

Sur un instrument à sons fixes, garder tous les intervalles purs est impossible lorsque plusieurs tonalités doivent rester praticables. L'accordeur choisit donc un tempérament et répartit les petits écarts plutôt que de laisser le comma se concentrer au même endroit.

Pour analyser un système fondé sur des quintes, on compare le retour après douze quintes avec sept octaves. Si les deux chemins ne coïncident pas, leur quotient mesure le comma pythagoricien et montre l'ampleur du compromis nécessaire.

Pour comparer une tierce pythagoricienne à une tierce pure, le rapport pertinent est 81/80 : c'est le comma syntonique. Dans un tempérament mésotonique, le rapport 128/125 signale plutôt le comma enharmonique.

Un comma n'est pas un tempérament. Le comma est l'écart constaté entre deux constructions d'intervalles ; le tempérament est le système choisi pour répartir ou déplacer cet écart. Le rapport 531441/524288 mesure ainsi un comma, tandis que la manière de le traiter relève du tempérament.

Un comma n'est pas non plus une dissonance. Le premier est un intervalle mesurable par un rapport de fréquences ; la seconde est un effet audible que cet écart peut engendrer lorsqu'il s'accumule ou reste concentré.

Le mot « comma » ne suffit pas à fixer une grandeur. Le symptôme du piège est une valeur donnée sans préciser les deux constructions comparées. Il faut nommer le comma : pythagoricien, syntonique ou enharmonique.

Les valeurs 23,5, 21,5 et 41 cents sont des arrondis, tandis que 531441/524288, 81/80 et 128/125 sont les rapports exacts correspondants. Il faut conserver le signe « environ » devant les valeurs en cents et employer le rapport pour un calcul exact.

Un faible écart n'est pas nécessairement négligeable. Même proche du seuil de perception lorsqu'il est isolé, un comma peut devenir audible par accumulation ou produire des dissonances. Le choix pratique porte alors sur sa répartition par le tempérament, non sur sa disparition supposée.

Les commas révèlent une contrainte générale de l'accordage : des rapports simples peuvent être localement purs sans refermer exactement un cycle complet. Étudier la façon dont un tempérament répartit ces écarts permet de relier calcul des rapports de fréquences, consonance des intervalles et possibilités offertes par un instrument à sons fixes.