gamme de Pythagore

Imaginez une corde qui vibre à 256 Hz. Pour obtenir une nouvelle note, on multiplie sa fréquence par 3/2 : elle vibre alors à 384 Hz. On recommence ce geste, puis on divise au besoin la fréquence par 2 pour rester dans la même octave.

La gamme de Pythagore naît de cette chaîne de quintes pures. Elle privilégie donc des quintes très consonantes, au prix d'autres intervalles moins proches de leurs rapports naturels.

La gamme de Pythagore, aussi appelée gamme pythagoricienne, est un système d'accordage construit par quintes pures successives. Si la fréquence de départ est notée f, la quinte supérieure a pour fréquence $\frac{3}{2}f\backslash frac\{3\}\{2\}f$. Chaque résultat est ensuite multiplié ou divisé par une puissance de 2 afin de le ramener dans l'octave de référence, comprise entre f inclus et 2f exclu.

La répétition du procédé fournit sept sons pour une gamme diatonique, puis douze pour une gamme chromatique. Les quintes génératrices successives ont exactement le rapport 3/2. En revanche, la tierce majeure pythagoricienne est plus grande que la tierce naturelle.

Douze quintes ne rejoignent pas exactement sept octaves : leur quotient vaut $\frac{(3\mathrm{/}2{)}^{12}}{2^7}=\frac{531441}{524288}\backslash frac\{(3/2)^\{12\}\}\{2^7\}=\backslash frac\{531441\}\{524288\}$. Cet écart, supérieur à 1 d'environ 1,36 %, est le comma pythagoricien. Il empêche de fermer le cycle avec douze quintes toutes pures.

On rencontre cette gamme dans l'histoire de l'accordage des instruments à sons fixes. Quatre indices la signalent : les notes sont produites par une chaîne de quintes, chaque quinte vise le rapport 3/2, les fréquences sont ramenées dans une même octave et la fermeture des douze quintes laisse un comma.

Ce support encode donc la hauteur relative des notes par des rapports de fréquences. Employée en Europe jusqu'au XVIe siècle, cette technique ancienne a ensuite cédé progressivement la place à des tempéraments plus souples.

La grandeur à lire est la fréquence de chaque note, exprimée ici en hertz. Première étape : choisissez une fréquence de référence f. Deuxième étape : multipliez-la par 3/2 pour monter d'une quinte pure. Troisième étape : si le résultat sort de l'octave allant de f à moins de 2f, divisez-le par 2. Répétez ces deux opérations pour créer d'autres notes.

L'ordre des notes dans la chaîne de quintes n'est pas leur ordre de hauteur dans l'octave. Une note nouvellement calculée peut donc sembler « revenir en arrière » après la division par 2. Le bon réflexe consiste à distinguer l'étape de génération par quinte et le rangement final par fréquence croissante.

Partons d'une note de référence à 256 Hz. Les données sont le rapport de quinte 3/2 et l'octave de référence allant de 256 Hz inclus à 512 Hz exclu.

1. La première quinte donne 256 × 3/2 = 384 Hz.
2. La suivante donne 384 × 3/2 = 576 Hz. Comme 576 Hz dépasse l'octave choisie, on divise par 2 et l'on obtient 288 Hz.
3. La nouvelle quinte donne 288 × 3/2 = 432 Hz.
4. La suivante donne 432 × 3/2 = 648 Hz, puis 648 ÷ 2 = 324 Hz.

Les cinq fréquences construites sont donc 256, 384, 288, 432 et 324 Hz dans l'ordre des quintes. Rangées dans l'octave, elles deviennent 256, 288, 324, 384 et 432 Hz. Pour contrôler chaque étape, multipliez une fréquence par 3/2 et vérifiez qu'une éventuelle division par 2 ramène bien le résultat entre 256 et 512 Hz.

Pour reconstruire un accordage pythagoricien, on fixe une note de référence, puis on applique successivement le rapport 3/2. On réduit chaque résultat dans la même octave avant de classer les fréquences.

Pour reconnaître le système, on contrôle d'abord les quintes. Si elles suivent exactement le rapport 3/2 mais que la chaîne ne se referme pas après douze quintes, l'écart observé est compatible avec le principe pythagoricien.

Pour choisir un autre accordage, on écoute ou mesure aussi les tierces et la possibilité de jouer dans plusieurs tonalités. Lorsque ces critères priment sur la pureté de toutes les quintes, un tempérament plus souple est préférable.

La gamme pythagoricienne ne se confond pas avec le tempérament égal. Dans la première, les quintes de la chaîne gardent le rapport exact 3/2 et le cycle produit un comma. Le tempérament égal répartit au contraire l'ajustement afin que douze intervalles égaux referment exactement l'octave.

Elle ne se confond pas non plus avec un accordage fondé sur les intervalles naturels. Le cas qui tranche est la tierce majeure : la tierce pythagoricienne issue de la chaîne de quintes est sensiblement plus grande que la tierce naturelle.

Le cycle ne se ferme pas exactement. Après douze quintes et une réduction de sept octaves, le rapport résiduel est 531441/524288, soit environ 1,01364. Il faut donc accepter une quinte différente des autres ou choisir un tempérament qui répartit l'écart.

La pureté des quintes ne rend pas tous les intervalles purs. La tierce majeure construite par la méthode est sensiblement plus grande que la tierce naturelle ; il faut examiner l'intervalle réellement utilisé au lieu de conclure à partir des seules quintes.

Le nom ne constitue pas une preuve d'origine. L'attribution à Pythagore repose sur des textes médiévaux dont la fiabilité historique est discutée ; il vaut mieux présenter cette filiation comme traditionnelle plutôt que certaine.

L'article Itérations musicales prolonge la chaîne de transformations et montre ce que la répétition d'une même opération produit en musique.