Construire une gamme, c’est déjà « itérer des intervalles », des quintes pour la gamme de Pythagore (voir article La gamme pythagoricienne), des quintes et des tierces pour celle de Zarlino au XVIe siècle, des demi-tons strictement égaux pour la gamme bien tempérée peut-être illustrée au XVIIIe siècle dans le Clavecin bien tempéré de Jean-Sébastien Bach. Les compositeurs de musique sont par la suite (c’est le cas de le dire…) allés beaucoup plus loin, faisant jouer sur leur thème initial de véritables transformations géométriques pour en faire des canons, ou le prolongeant par des itérations bien spéciales, comme dans la musique minimaliste contemporaine, dite à juste titre répétitive. D’autres compositions de musique d’aujourd’hui sont, elles, complètement dépendantes de suites arithmétiques ou d’itérations successives inattendues.
Musique classique : itérations diverses
Un exemple élémentaire d’itération est le canon, une structure musicale où un thème à une voix (dux) est repris par une autre (comes) de multiples façons. Cela peut être simplement un canon par translation, où l’itération se fait à l’identique, les voix, chantant une mélodie décrite en fonction du temps par le processus M (t), entrant à intervalles de temps réguliers (d) et peut-être selon une transposition d’une certaine hauteur (h). Ainsi, si M1 est la mélodie de la première voix à l’instant t, M2 celle de la deuxième, M2 (t) = M1 (t – d) + h. Typiquement, dans la suite de pièces composant la célèbre pièce l’Offrande musicale de Bach, le thème dit « royal » (parce que certains l’attribuent à Frédéric II de Prusse, lui-même flûtiste et compositeur) est repris de manière différente dans chacune des pièces. Il peut l’être, par exemple, après dix mesures (d) et avec un intervalle d’une quinte (h).
