construction de l'accord

Sur un piano, enfoncer ensemble les touches do, mi et sol produit un accord. Pour le décrire mathématiquement, on remplace chaque note par sa hauteur, puis on rassemble les valeurs obtenues. L’accord devient ainsi un petit ensemble de points dans un espace musical.

Déplacer les trois notes du même nombre de demi-tons conserve leur disposition : c’est une transposition. Comparer les points avant et après ce déplacement rend visibles des parentés harmoniques que la seule écriture sur une portée peut masquer.

Un espace musical est un ensemble de hauteurs disponibles. Dans ce cadre, un accord est un sous-ensemble fini de hauteurs entendues simultanément. Sa construction consiste donc à choisir ces hauteurs, puis à étudier leurs relations. La combinatoire intervient pour dénombrer les choix possibles ; la théorie des groupes et la géométrie servent à décrire leurs transformations et leurs voisinages.

Dans le tempérament égal à douze demi-tons, si l’octave est considérée comme équivalente, chaque hauteur peut être ramenée à une classe numérotée de 0 à 11. Avec do associé à 0, l’accord do–mi–sol est représenté par l’ensemble {0, 4, 7}. Une transposition de deux demi-tons ajoute 2 à chaque classe, avec retour après 11, et donne {2, 6, 9}. Une inversion autour de la classe 0 remplace chaque classe x par son opposé modulo 12 ; elle donne ici {0, 5, 8} après réordonnement.

La représentation dépend du modèle choisi. Un ensemble de classes de hauteurs ignore l’octave, l’ordre et les notes répétées, tandis qu’un espace de hauteurs registrées les distingue. La théorie néo-riemannienne étudie notamment des transformations entre accords majeurs et mineurs ; les espaces géométriques de Dmitri Tymoczko représentent plus largement des accords et leurs enchaînements.

Dans le modèle des douze classes de hauteurs, on numérote les notes de 0 à 11. Le nombre entier k désigne le déplacement en demi-tons, et x une classe quelconque de l’accord. Pour transposer, on ajoute k à chaque classe et l’on conserve le reste modulo 12. Si l’accord initial est l’ensemble A, l’accord transposé est :

Le résultat est atteint lorsque chaque classe a été transformée une fois. Cette règle préserve tous les écarts entre les notes modulo l’octave.

Le calcul modulo 12 s’applique lorsque les notes appartiennent au tempérament égal à douze demi-tons et que deux notes séparées d’une octave sont tenues pour équivalentes. Il faut connaître les classes de départ, la transformation choisie et, pour une transposition, le nombre entier de demi-tons. Le résultat décrit alors une classe d’accords, non un registre précis.

Ce modèle ne suffit pas si l’on veut distinguer un do grave d’un do aigu, compter les doublures ou décrire un autre accordage. Dans ce contre-cas, il faut conserver les hauteurs registrées, les multiplicités ou les fréquences réelles au lieu de réduire les notes modulo 12.

On part de l’accord do–mi–sol dans le tempérament égal à douze demi-tons. Les données sont les classes do = 0, mi = 4 et sol = 7, ainsi qu’une transposition ascendante de 2 demi-tons.

1. Écrire l’accord initial sous la forme A = {0, 4, 7}.
2. Ajouter 2 à chaque valeur : 0 + 2 = 2, 4 + 2 = 6 et 7 + 2 = 9.
3. Réduire modulo 12. Ici, toutes les sommes sont déjà comprises entre 0 et 11.
4. Lire les nouvelles classes : 2 est ré, 6 est fa dièse et 9 est la.

Le résultat est donc l’accord ré–fa dièse–la, représenté par {2, 6, 9}. Pour contrôler le calcul, on compare les écarts circulaires successifs : 4, 3 puis 5 demi-tons dans les deux ensembles. La figure rend visible le déplacement identique appliqué aux trois classes.

Pour reconnaître deux accords transposés, on code leurs notes par classes de hauteurs et l’on vérifie si un même décalage modulo 12 transforme toutes les classes. Si les octaves exactes importent, on compare plutôt les hauteurs registrées.

Pour étudier un enchaînement, on observe combien de voix peuvent se déplacer sur de petites distances. Un espace géométrique est alors préférable à la seule liste des noms d’accords, car il matérialise leur proximité.

Pour inventorier des accords possibles, on fixe d’abord l’espace de notes et le nombre de notes choisies. La combinatoire convient au dénombrement ; elle ne remplace pas l’analyse de leur fonction musicale.

Accord et arpège. Dans un accord, les hauteurs sont entendues simultanément ; dans un arpège, elles sont successives. Do, puis mi, puis sol forment un arpège même si le même ensemble de classes est mobilisé.

Hauteur et classe de hauteur. Une hauteur situe une note dans un registre précis ; une classe regroupe les notes séparées par des octaves. Deux do éloignés d’une octave sont deux hauteurs, mais une même classe modulo 12.

Inversion mathématique et renversement d’accord. L’inversion transforme les classes selon une symétrie choisie. Le renversement change la note la plus grave sans nécessairement changer les classes : mi–sol–do renverse do–mi–sol, mais conserve {0, 4, 7}.

Perte du registre. La réduction modulo 12 fait coïncider toutes les octaves. Deux réalisations très éloignées peuvent donc avoir la même représentation ; il faut conserver les hauteurs registrées pour étudier leur disposition sonore.

Perte des doublures. Un ensemble ne compte pas les répétitions. Do–mi–sol et do–mi–sol–do ont tous deux les classes {0, 4, 7} ; un multiensemble est nécessaire lorsque la multiplicité des notes compte.

Rétrogradation sans ordre. Renvoyer une suite de notes dans l’ordre inverse agit sur une mélodie ou un arpège. Sur un accord modélisé comme un ensemble non ordonné, la rétrogradation ne produit aucun nouvel ensemble ; il faut enrichir le modèle pour représenter l’ordre.

Dépendance à l’accordage. Les douze classes supposent le tempérament égal. Pour une division différente de l’octave ou une intonation fondée sur des rapports de fréquences, il faut remplacer le modulo 12 par le système correspondant.

L’analyse combinatoire fournit les outils pour compter les sous-ensembles de hauteurs possibles lorsque l’espace et la taille de l’accord sont fixés.

L’article Les débuts des groupes replace la notion de groupe dans son histoire et éclaire le langage employé pour composer des transformations.