structure cordique

Imaginez trois notes jouées ensemble, puis les mêmes intervalles déplacés vers le haut. Même si les notes ont changé de nom, leur organisation peut rester la même. Une structure cordique sert à reconnaître cette organisation en faisant abstraction de la hauteur absolue.

Pour cela, on remplace chaque note par sa classe de hauteur : une note et toutes ses répétitions à l'octave sont alors considérées comme équivalentes. On compare ensuite les ensembles obtenus après transposition, ou après transposition et inversion.

Une structure cordique est une classe d'équivalence d'ensembles de classes de hauteurs. Une classe de hauteur regroupe toutes les notes séparées par un nombre entier d'octaves ; la hauteur absolue, qui distingue par exemple deux octaves différentes, n'est donc pas conservée.

Dans le cadre usuel des douze classes de hauteurs tempérées, on peut numéroter les classes de 0 à 11, en choisissant une origine. La transposition ajoute le même intervalle à chaque classe, avec retour dans cet ensemble lorsque l'on dépasse 11. Pour un ensemble S et une transposition de t classes, on obtient la transformation suivante :

Une première convention d'équivalence ne retient que les transpositions. Une seconde identifie aussi un ensemble à son image par inversion, c'est-à-dire au renversement des intervalles autour d'un axe. Le choix de la convention détermine donc la classe d'équivalence obtenue.

Une structure cordique repose sur plusieurs éléments liés. L'ensemble de notes fournit les éléments de départ. Les classes de hauteurs remplacent chaque note par son représentant modulo l'octave. L'opération de transposition déplace toutes les classes du même nombre d'intervalles. L'inversion renverse les intervalles selon un axe choisi. Enfin, la relation d'équivalence rassemble les ensembles que la convention considère comme de même structure.

Les classes de hauteurs sont nécessaires avant toute comparaison, car une transposition agit sur elles plutôt que sur une hauteur absolue. L'opération choisie détermine ensuite quels ensembles peuvent être réunis. Avec la transposition seule, deux ensembles doivent être des transposés l'un de l'autre ; avec l'inversion en plus, l'image inversée peut également convenir. Ces données suffisent à classer un ensemble selon la convention annoncée.

Considérons l'ensemble conducteur S = {0, 4, 7}, qui représente trois classes de hauteurs. On lui applique une transposition de 4 classes.

Les données sont : S = {0, 4, 7}, le nombre de classes est 12 et le décalage vaut t = 4.
La classe 0 devient (0 + 4) mod 12 = 4.
La classe 4 devient (4 + 4) mod 12 = 8.
La classe 7 devient (7 + 4) mod 12 = 11.
Le transposé est donc T₄(S) = {4, 8, 11}.

Le résultat forme la même structure cordique que S si l'équivalence retenue est celle par transposition : les trois classes ont reçu le même décalage de 4. Le contrôle consiste à soustraire 4 à chaque élément de {4, 8, 11}, modulo 12, ce qui restitue {0, 4, 7}.

Pour comparer deux accords ou deux ensembles de notes, on commence par ramener les notes à leurs classes de hauteurs. Ce geste est utile lorsque les octaves changent, mais que l'organisation intervallique est la question étudiée.

On applique ensuite une transposition identique à toutes les classes du premier ensemble. Si l'on cherche une équivalence par transposition seule, on retient cette transformation lorsque le second ensemble est exactement obtenu, sans ajouter ni retirer de classe.

Si le classement inclut l'inversion, on teste aussi l'ensemble produit par cette opération. La préférence entre les deux cadres dépend de la convention d'analyse : le critère observable est l'ensemble des transformations autorisées.

Une structure cordique ne désigne pas un accord particulier dans une octave déterminée. Un accord conserve une réalisation concrète, tandis que la structure cordique regroupe des ensembles selon des transformations autorisées. Le cas qui tranche est celui de S = {0, 4, 7} et de T₄(S) = {4, 8, 11} : les réalisations diffèrent, mais elles relèvent de la même structure par transposition.

Elle ne se confond pas non plus avec une classe de hauteur. Une classe de hauteur est un élément, comme 4 ; une structure cordique est une classe d'équivalence d'ensembles de classes de hauteurs, comme celle qui contient {0, 4, 7}. La distinction porte donc sur le statut mathématique — élément contre classe d'équivalence d'ensembles — et non sur le nombre d'éléments.

Le résultat dépend de l'ensemble de transformations annoncé. Avec la transposition seule, une inversion ne suffit pas à établir l'équivalence. Avec la transposition et l'inversion, elle peut suffire. Le symptôme d'une lecture incorrecte est de déclarer deux ensembles équivalents sans préciser la convention ; il faut alors nommer les opérations autorisées.

Le modulo 12 appartient ici au cadre usuel de douze classes de hauteurs. Le passage de 11 à 0 n'est donc pas une approximation, mais un retour exact dans cet ensemble. Si le système de hauteurs ou l'origine change, les nombres et l'opération modulo doivent être redéfinis avant le classement.

Enfin, pour réaliser une transposition, il faut agir sur toutes les classes avec le même décalage. Une modification partielle ne constitue donc pas une transposition uniforme et ne garantit pas l'équivalence ; elle peut toutefois produire par coïncidence un ensemble qui est aussi un autre transposé de l'ensemble initial. Par exemple, remplacer seulement 0 par 6 dans {0, 2, 4} donne {2, 4, 6}, qui est T₂({0, 2, 4}).

Une fois la convention fixée, l'étude d'une structure cordique peut se poursuivre par l'inventaire de tous les transposés et, lorsque le cadre le prévoit, de toutes les images inversées. Cette collection permet de comparer des ensembles sans confondre leur position absolue avec leurs relations internes.