conjecture abc

Prenons 1 + 8 = 9. Les nombres 8 et 9 contiennent plusieurs fois les mêmes facteurs premiers : 8 vaut 2³ et 9 vaut 3². Si l'on ne garde qu'une fois chaque facteur premier, il ne reste que 2 × 3 = 6. La conjecture abc affirme, en substance, que de telles répétitions ne peuvent pas rendre le résultat c exceptionnellement grand trop souvent.

Elle transforme ainsi une addition très simple, a + b = c, en une question sur la richesse de ses facteurs premiers distincts.

La conjecture abc, ou conjecture d'Oesterlé-Masser, concerne trois entiers positifs nommés a, b et c. Ils doivent vérifier a + b = c et être premiers entre eux deux à deux : chaque paire a pour seul diviseur commun 1.

Le radical de leur produit, noté rad(abc), est le produit de tous les facteurs premiers distincts qui divisent abc. Chaque nombre premier n'y apparaît donc qu'une fois, quelle que soit sa multiplicité dans a, b ou c. La qualité du triplet compare c à ce radical : $q(a,b,c)=\frac{\log c}{\log \mathrm{rad}(abc)}q(a,b,c)=\backslash frac\{\backslash log\; c\}\{\backslash log\; \backslash operatorname\{rad\}(abc)\}$.

Pour tout nombre réel strictement positif ε, la conjecture affirme qu'il n'existe qu'un nombre fini de triplets admissibles dont la qualité dépasse 1 + ε. Une forme équivalente dit que, pour chaque ε > 0, une constante dépendant de ε borne c par cette constante multipliée par rad(abc)^1+ε. Formulée indépendamment par David Masser en 1985 et Joseph Oesterlé en 1988, elle aurait, si elle était établie, de nombreux corollaires en théorie des nombres, dont une autre preuve du dernier théorème de Fermat. Shinichi Mochizuki en a annoncé une démonstration en 2012, dont l'examen a duré plusieurs années.

Soient a, b et c trois entiers positifs, premiers entre eux deux à deux, tels que a + b = c. Le nombre rad(abc) est le produit des nombres premiers distincts divisant abc. Alors, pour chaque nombre réel ε > 0, seuls un nombre fini de ces triplets satisfont :

Le seuil 1 + ε est fixé avant de compter les triplets ; la conclusion porte sur leur nombre, pas sur l'impossibilité de chaque exception.

L'énoncé s'applique à des entiers strictement positifs a, b et c qui vérifient exactement a + b = c. Les trois paires (a, b), (a, c) et (b, c) doivent être premières entre elles. Il faut ensuite décomposer abc en facteurs premiers distincts pour former son radical, puis choisir un ε strictement positif.

Le triplet 2 + 2 = 4 ne convient pas : 2 et 4 ont le diviseur commun 2. Il ne peut donc ni confirmer ni contredire la conjecture. Dans ce cas, il faut d'abord diviser l'égalité par le facteur commun, ce qui donne 1 + 1 = 2, puis étudier ce triplet admissible.

Étudions le triplet 1 + 8 = 9. Le schéma rassemble l'addition, les factorisations et le passage au radical sans confondre multiplicités et facteurs distincts.

Données.
a = 1, b = 8 et c = 9.
Factorisations : 8 = 2³ et 9 = 3².
Les trois nombres sont premiers entre eux deux à deux.

Étape 1. Le produit abc vaut 1 × 8 × 9 = 72, soit 2³ × 3².

Étape 2. Le radical ne conserve qu'une occurrence de 2 et une occurrence de 3. Ainsi, rad(72) = 2 × 3 = 6.

Étape 3. La qualité du triplet est :

Contrôle. Pour ε = 0,2, le seuil vaut 1,2 ; ce triplet le dépasse donc. Cela ne réfute pas la conjecture, qui autorise un nombre fini de tels triplets pour chaque ε > 0.

Pour examiner un triplet a + b = c, on vérifie d'abord qu'il est admissible, puis on factorise abc. Le radical convient mieux que le produit brut lorsque l'on veut ignorer la répétition d'un même facteur premier.

On calcule ensuite la qualité log(c) / log(rad(abc)). Une valeur supérieure à 1 signale que c est grand relativement aux facteurs premiers distincts mobilisés ; elle ne constitue pas, à elle seule, un contre-exemple.

Pour tester l'énoncé à un seuil donné, on fixe ε avant la recherche et l'on recense les triplets dont la qualité dépasse 1 + ε. La conjecture porte sur la finitude de ce recensement.

Une conjecture et un théorème. Une démonstration annoncée ne change pas à elle seule le statut de l'énoncé dans cette fiche. La source le nomme conjecture et formule ses conséquences sous la condition « si elle est établie ».

Le radical rad(abc) et le produit abc. Le produit compte toutes les multiplicités, tandis que le radical conserve chaque facteur premier une seule fois. Pour 1 × 8 × 9 = 72, le radical vaut 6, et non 72.

Qualité supérieure à 1. Ce n'est pas un contre-exemple. Le triplet 1 + 8 = 9 a une qualité d'environ 1,226 ; pour ε = 0,2, il fait partie des exceptions que l'énoncé autorise en nombre fini.

Seuil variable. L'expression « pour tout ε > 0 » ne signifie pas qu'un même triplet doit franchir tous les seuils. On fixe ε, puis on compte les triplets situés au-dessus de 1 + ε.

Facteur commun. Un triplet comme 2 + 2 = 4 est hors du domaine annoncé. Il faut le réduire par son facteur commun avant toute comparaison avec l'énoncé.

Annonce et établissement. La source mentionne l'annonce faite par Shinichi Mochizuki en 2012 et les années de vérification. Elle conserve toutefois une formulation conditionnelle pour les corollaires, qu'il ne faut pas présenter comme acquis dans cette fiche.

La formulation avec une constante donne une autre lecture de la conjecture : pour chaque ε > 0, la puissance 1 + ε du radical finit par dominer c, à un facteur dépendant de ε près. Cette marge, si petite soit-elle, est essentielle ; remplacer 1 + ε par 1 changerait l'énoncé.

Conjecture abc : la preuve que personne ne comprend sera vérifiée par ordinateur — Pour prolonger l'examen de la démonstration annoncée et de sa vérification.

Quelques travaux d’Erdős en théorie des nombres — Pour replacer la conjecture dans un domaine riche en problèmes sur les entiers et leurs facteurs.