ArithmétiqueNotion · Glossaire
crible de Matiiassevitch
Le crible de Matiiassevitch est un test géométrique de primalité fondé sur une parabole d'axe horizontal. Pour deux entiers a et b au moins égaux à 2, on place sur ses branches opposées les points de hauteurs a et −b, dont les abscisses sont leurs carrés : le segment qui les joint coupe l'axe horizontal à l'abscisse ab. Ainsi, parmi les entiers n au moins égaux à 2, ceux qu'aucun de ces segments n'atteint sont exactement les nombres premiers.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le produit de deux entiers à l'intersection d'un segment avec l'axe horizontal.
- Comprendre pourquoi les entiers non atteints sont premiers lorsque les facteurs 1 sont exclus.
- Refaire la construction avec 3, 4 et leur produit 12.
- Reconnaître les limites d'un tracé graphique pour de grands entiers.
En clair
Imaginez une parabole couchée, avec une branche au-dessus de l'axe horizontal et l'autre au-dessous. Le nombre 3 place un point sur la branche haute, tandis que le nombre 4 en place un sur la branche basse. Le segment qui les relie rencontre l'axe au nombre 12, leur produit.
En traçant ainsi les segments formés par deux facteurs au moins égaux à 2, on atteint les nombres composés. Les entiers à partir de 2 qui restent sans segment sont premiers.
Définition
Le crible de Matiiassevitch est une construction géométrique qui encode la multiplication sur la parabole d'axe horizontal. Dans un repère, on prend la parabole d'équation . Pour chaque entier positif a, le point Pa de la branche haute a pour coordonnées (a², a). Pour chaque entier positif b, le point Qb de la branche basse a pour coordonnées (b², −b).
Le segment PaQb coupe l'axe horizontal au point d'abscisse ab. Cette identité est le moteur du crible :
Pour cribler les entiers, on impose a ≥ 2 et b ≥ 2. Un entier n ≥ 2 est alors rencontré par un segment exactement lorsqu'il admet une factorisation n = ab avec deux facteurs au moins égaux à 2, donc lorsqu'il est composé.
Les entiers n ≥ 2 non rencontrés sont donc les nombres premiers. La construction rend visible un critère arithmétique ; elle ne change ni la définition d'un nombre premier ni celle de la multiplication. La source attribue cette représentation à Yuri Matiiassevitch et Boris Stechkin.
Un exemple, pas à pas
Vérifions graphiquement que 12 est composé en utilisant les facteurs 3 et 4. La figure représente la parabole, les deux points choisis et le segment qui encode leur produit.
Données.
Parabole : .
Premier facteur : a = 3.
Second facteur : b = 4.
Les deux facteurs sont au moins égaux à 2.
Parabole : .
Premier facteur : a = 3.
Second facteur : b = 4.
Les deux facteurs sont au moins égaux à 2.
Étape 1. Sur la branche haute, le facteur 3 donne le point P de coordonnées (3², 3), soit P = (9, 3).
Étape 2. Sur la branche basse, le facteur 4 donne le point Q de coordonnées (4², −4), soit Q = (16, −4).
Étape 3. La droite passant par P et Q a pour équation . Sur l'axe horizontal, y vaut 0 ; l'abscisse du point d'intersection vaut donc 12.
Résultat et contrôle. Le segment atteint 12, et 3 × 4 = 12. La factorisation par deux entiers supérieurs à 1 confirme que 12 est composé.
En pratique
Pour explorer de petits entiers, on trace quelques points des deux branches, puis les segments associés à des facteurs au moins égaux à 2. Chaque intersection avec l'axe signale un produit et donc un entier composé.
Pour expliquer la multiplication, la construction relie un calcul comme 3 × 4 à trois objets visibles : deux points, un segment et son intersection avec l'axe. Un calcul direct reste préférable si seul le résultat numérique est recherché.
Pour tester un grand entier, le dessin devient vite chargé et imprécis. Une méthode arithmétique de primalité est alors préférable ; le crible conserve surtout son intérêt visuel et pédagogique.
À ne pas confondre
Avec la définition d'un nombre premier. Le crible est une représentation qui aide à classer les entiers ; la primalité reste la propriété d'un entier n ≥ 2 de n'avoir aucun diviseur positif autre que 1 et lui-même. Ainsi, 13 est premier qu'on le dessine ou non.
Avec la parabole seule. La courbe ne crible rien tant qu'on n'a pas choisi des points sur ses deux branches et tracé leurs segments. Une parabole sans ces segments représente seulement la relation x = y², pas les produits 3 × 4 ou 2 × 5.
Limites et pièges
Le facteur 1 doit être exclu. Si les segments utilisant 1 étaient admis, chaque entier n serait atteint par le produit 1 × n. Le dessin ne séparerait plus les nombres premiers des nombres composés ; il faut donc imposer deux facteurs au moins égaux à 2.
0 et 1 demandent un traitement à part. L'absence de segment ne suffit à conclure à la primalité que pour les entiers n ≥ 2. Les entiers 0 et 1 ne sont pas premiers.
Un tracé approximatif peut tromper. Pour des valeurs nombreuses, des segments voisins peuvent sembler passer par le même point de l'axe. Il faut lire l'abscisse dans le repère ou vérifier le produit par le calcul, plutôt que se fier à l'épaisseur des traits.
Pour aller plus loin
Nombre premier — Retrouvez le critère arithmétique que le crible traduit par l'absence de segment.
Parabole — Situez la courbe qui sert de support géométrique à la construction.
Ce nombre est-il premier ? — Prolongez la question visuelle par d'autres façons de décider la primalité.
L'inépuisable théorème des nombres premiers — Passez du test d'un entier à l'étude de la répartition des nombres premiers.
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