écriture additive

Imaginez quinze jetons rangés en cinq petits groupes de trois. On peut compter tous les jetons en additionnant les effectifs des groupes : 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Cette somme est une écriture additive du nombre quinze.

Le nombre reste le même, mais son écriture montre comment il a été décomposé en plusieurs termes. D'autres regroupements donneraient donc d'autres écritures additives de quinze.

Une écriture additive représente un nombre par une addition comportant plusieurs termes. Les termes sont les nombres additionnés ; le résultat de leur addition est la somme. Ainsi, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 est une écriture additive de 15, car la somme de ses cinq termes vaut 15.

Une même valeur admet plusieurs écritures additives : 15 peut aussi s'écrire 10 + 5 ou 7 + 8. Changer le nombre de termes ou leur regroupement change l'écriture, pas le nombre représenté, à condition que la somme reste 15.

L'ordre des termes ne modifie pas leur somme : 10 + 5 et 5 + 10 représentent tous deux 15. Ce sont toutefois deux suites de signes différentes sur la page. Selon le contexte, on peut les considérer comme deux écritures ou comme la même décomposition à l'ordre près.

On dispose de quinze jetons. Les données sont cinq groupes, chacun contenant trois jetons, et un total attendu de quinze jetons.

1. Écrivons un terme pour l'effectif de chaque groupe : 3, 3, 3, 3 et 3.

2. Relions les cinq termes par le signe d'addition : 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

3. Additionnons successivement : 3 + 3 = 6, puis 6 + 3 = 9, puis 9 + 3 = 12, et enfin 12 + 3 = 15. La figure matérialise les cinq groupes comptés par cette somme.

4. Le résultat est exactement quinze jetons : 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Pour contrôler, comptons directement les cinq rangées de trois jetons ; elles contiennent bien quinze jetons.

Pour compter des objets déjà répartis en paquets, on additionne les effectifs des paquets. Cinq groupes de trois jetons conduisent à 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Si tous les groupes ont le même effectif, une écriture multiplicative est plus courte.

Pour calculer mentalement, on choisit une décomposition commode. Le nombre 15 peut s'écrire 10 + 5 : le premier terme fournit une dizaine et le second complète le total.

Pour vérifier une écriture proposée, on calcule tous ses termes. Si leur somme n'est pas le nombre annoncé, l'écriture additive ne représente pas ce nombre.

Une écriture additive et une écriture multiplicative. La première relie ses termes par des additions ; la seconde utilise une multiplication. Pour cinq groupes de trois jetons, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 est additive, tandis que 5 × 3 est multiplicative.

Une écriture additive et une partition d'un entier. Une partition de 15 retient une décomposition en entiers positifs sans distinguer l'ordre. Les écritures 10 + 5 et 5 + 10 diffèrent visuellement, mais correspondent à la même partition de 15.

Le total seul ne suffit pas. Dans 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, l'écriture additive est le membre formé par l'addition, pas seulement le résultat 15. Il faut conserver les termes pour montrer la décomposition.

Le nombre de termes compte. La définition demande plusieurs termes. L'écriture isolée 15 nomme le nombre, mais ne montre aucune somme et n'est donc pas une écriture additive au sens retenu ici.

Une égalité fausse ne représente pas le nombre annoncé. La suite 3 + 3 + 3 + 3 contient quatre termes et vaut 12, non 15. Il faut recalculer la somme ou ajouter le cinquième terme.

L'écriture multiplicative condense une addition de termes égaux et montre comment 3 + 3 + 3 + 3 + 3 devient 5 × 3.

La partition d'un entier étudie les décompositions en entiers positifs en ne distinguant pas l'ordre des termes.