écriture multiplicative

Imaginez 210 jetons rangés en paquets identiques. On peut former 21 paquets de 10 jetons, puis voir chaque groupe comme 3 × 7 et 2 × 5. Le même total s'écrit alors 21 × 10, ou encore 2 × 3 × 5 × 7.

Dans ces écritures, chaque nombre multiplié est un facteur. Leur résultat commun, 210, est le produit. L'écriture change la manière de regrouper le nombre, pas sa valeur.

Une écriture multiplicative d'un nombre est une représentation de ce nombre sous la forme d'un produit. Les nombres reliés par le signe × sont les facteurs ; la valeur obtenue en les multipliant est le produit. Ainsi, l'égalité 60 = 6 × 10 montre une écriture de soixante à l'aide de deux facteurs.

Une même valeur admet généralement plusieurs écritures multiplicatives. Par exemple, 210 = 21 × 10 = 2 × 3 × 5 × 7. Pour les entiers considérés ici, changer l'ordre des facteurs ou leur regroupement ne change pas le produit : 2 × 3 × 5 × 7 et 7 × 5 × 3 × 2 représentent donc le même nombre.

Lorsque tous les facteurs sont des nombres premiers, on parle plus précisément de décomposition en facteurs premiers. Pour un entier positif supérieur à 1, cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. Une écriture comme 21 × 10 reste multiplicative, mais elle n'est pas encore une décomposition en facteurs premiers.

Écrivons 210 comme produit de facteurs premiers. La donnée de départ est l'entier 210 ; le but est d'obtenir seulement des facteurs premiers supérieurs à 1.

1. Comme 210 est pair, 210 = 2 × 105.
2. Comme 105 se termine par 5, 105 = 5 × 21.
3. Enfin, 21 = 3 × 7.
4. En remplaçant chaque nombre décomposé, on obtient 210 = 2 × 5 × 3 × 7, soit 210 = 2 × 3 × 5 × 7 après réordonnancement.

L'arbre de facteurs rend visible un autre départ, 210 = 21 × 10, puis l'arrivée aux quatre facteurs premiers 2, 3, 5 et 7.

Le contrôle se refait sans reprendre les divisions : 2 × 3 = 6, 5 × 7 = 35, puis 6 × 35 = 210. Le produit retrouvé est bien le nombre de départ.

En calcul mental, une écriture multiplicative bien choisie simplifie les regroupements. Pour calculer 21 × 10, on garde ce produit direct ; pour vérifier 2 × 3 × 5 × 7, on peut préférer les paires 2 × 5 et 3 × 7.

Pour compter une disposition rectangulaire, on multiplie le nombre de lignes par le nombre d'objets de chaque ligne. Si les objets ne forment pas des groupes réguliers, une somme décrivant séparément les groupes est plus adaptée.

En arithmétique, décomposer un entier en facteurs premiers aide à repérer les facteurs élémentaires qui le composent. Si l'on cherche seulement une écriture rapide du nombre, des facteurs non premiers, comme 21 et 10 pour 210, peuvent suffire.

Écriture multiplicative et multiplication. La multiplication est l'opération ; l'écriture multiplicative est la représentation produite avec des facteurs. Dans 6 × 10 = 60, « multiplier 6 par 10 » nomme l'opération, tandis que 6 × 10 est une écriture de 60.

Écriture multiplicative et écriture additive. Le signe permet de trancher : 6 × 10 est un produit, alors que 50 + 10 est une somme. Les deux valent 60, mais seule la première écriture est multiplicative.

Écriture multiplicative et décomposition en facteurs premiers. La seconde exige que chaque facteur soit premier. Ainsi, 21 × 10 est une écriture multiplicative de 210 ; 2 × 3 × 5 × 7 en est la décomposition en facteurs premiers.

Le facteur 1. On peut toujours insérer 1 sans changer le produit : 210 = 1 × 210 = 1 × 1 × 210. Ces variantes n'apportent aucune décomposition nouvelle ; lorsque l'on cherche les facteurs essentiels, on écarte donc les facteurs égaux à 1.

Le cas de 0. Dès qu'un facteur vaut 0, tout le produit vaut 0. Une écriture comme 0 = 0 × 210 ne renseigne donc pas sur la structure de 210 ; il faut repartir du nombre non nul que l'on veut décomposer.

Les facteurs négatifs. Deux facteurs négatifs donnent un produit positif : 210 = (−2) × (−105). Cette écriture est correcte, mais, pour la décomposition en facteurs premiers d'un entier positif, on retient par convention des facteurs premiers positifs.

L'ordre n'est pas une nouvelle décomposition. Écrire 2 × 3 × 5 × 7 ou 7 × 5 × 3 × 2 ne change ni les facteurs présents ni leur multiplicité. Pour comparer deux décompositions, on range les facteurs dans le même ordre et l'on compte leurs répétitions.

Facteur premier — Préciser quels facteurs premiers interviennent dans un entier et comment ils se distinguent des autres diviseurs.

nombre premier — Reconnaître les nombres qui ne se décomposent pas en produit de deux entiers strictement supérieurs à 1.

Critères de divisibilité — Choisir rapidement un premier facteur possible avant de poursuivre une décomposition, comme avec 2 puis 5 pour 210.