Frisius Reiner Gemma

À Louvain, Gemma Frisius étudie la médecine, les mathématiques et l’astronomie. En 1533, il publie une idée féconde pour dresser des cartes. Il mesure une distance de départ, vise un même point depuis ses deux extrémités, puis détermine sa position par le triangle ainsi formé. Cette triangulation transforme des angles et une longueur accessible en distances difficiles à mesurer directement.

Médecin de formation, il travaille aussi comme mathématicien, astronome, cartographe et fabricant d’instruments. Ses recherches relient ainsi calcul, observation du ciel et représentation de la Terre.

Reiner Gemma Frisius (1508-1555), dont le prénom est également orthographié Regnier, est un savant hollandais actif à Louvain. Orphelin pauvre et infirme dans ses premières années, il y étudie la médecine, les mathématiques et l’astronomie. Il réalise des cartes, des globes terrestres et célestes, fabrique des instruments astronomiques et mène de nombreuses observations. Certaines de ces observations seront publiées par son fils Cornelius Gemma Frisius.

Son ouvrage De Locorum describendorum ratione, paru en 1533, contient la première exposition connue de la méthode de triangulation. À partir d’une base mesurée et des directions sous lesquelles un point est observé depuis ses extrémités, la géométrie détermine les autres distances du triangle. Le même ouvrage propose une détermination de la longitude par différence de temps. Ces deux apports occupent une place majeure dans l’histoire de la géodésie moderne.

Chef de file de l’école géographique hollandaise, Gemma Frisius compte Gerardus Mercator parmi ses élèves. Son activité mathématique ne se limite pas à la cartographie : en 1540, il publie Arithmetica practicae methodus facilis, un manuel pratique de calcul largement diffusé.

Deux stations A et B sont distantes de 100 m. Depuis chacune, on vise un point C inaccessible. L’angle entre la base AB et la visée vaut 45° en A comme en B. Ces trois données — AB = 100 m, angle A = 45° et angle B = 45° — suffisent à construire le triangle à une réflexion par rapport à AB près ; le schéma place C au-dessus de AB.

1. La somme des angles d’un triangle vaut 180°. L’angle au point C vaut donc 180° − 45° − 45° = 90°.

2. Les deux angles de 45° rendent les distances AC et BC égales. On note d cette distance commune. Le théorème de Pythagore donne :

3. On obtient $d=100\mathrm{/}\sqrt{2}\approx \mathrm{70,71}\mathrm{m}d=100/\backslash sqrt\{2\}\backslash approx70\{,\}71\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$. La hauteur de C au-dessus de la base est exactement 50 m.

Le contrôle est immédiat : deux côtés d’environ 70,71 m donnent 70,71² + 70,71² ≈ 10 000 m², soit le carré de 100 m à l’arrondi près. Le schéma fixe la construction géométrique employée pour ce calcul.

Pour situer un point qu’on ne peut pas atteindre, la triangulation remplace la mesure directe par une base accessible et deux visées. Si l’on peut parcourir toute la distance, une mesure directe est préférable ; l’obstacle rend la triangulation utile.

Pour étudier la contribution géodésique de Gemma Frisius, il faut distinguer les deux gestes décrits en 1533 : les angles servent à la triangulation, tandis qu’une différence de temps sert à déterminer une longitude. Le type de donnée observée indique la méthode concernée.

Pour suivre son œuvre, on sépare aussi les supports : cartes, globes et instruments relèvent de la pratique géographique et astronomique ; Arithmetica practicae methodus facilis relève du calcul pratique.

Gemma Frisius et Cornelius Gemma Frisius. Reiner Gemma Frisius est le savant présenté ici ; Cornelius est son fils. Une observation publiée par Cornelius peut néanmoins avoir été effectuée par son père.

Triangulation et détermination de la longitude. La première exploite une base et des angles pour construire un réseau de triangles. La seconde, telle que Gemma Frisius la propose, exploite une différence de temps. La nature des mesures les sépare.

Gemma Frisius et Gerardus Mercator. Gemma Frisius est le chef de file de l’école géographique hollandaise ; Mercator compte parmi ses élèves. Le rapport de maître à élève ne confond pas leurs œuvres respectives.

Une première exposition connue n’est pas une invention datée avec certitude. L’ouvrage de 1533 contient la première présentation connue de la méthode. Cette formulation prudente ne doit pas devenir « invention de la triangulation ».

L’exemple 45°–45°–90° est un modèle pédagogique. Il illustre le mécanisme de calcul, mais ne reconstitue ni une mesure historique de Gemma Frisius ni une carte précise. Ses 100 m sont des données choisies pour rendre le contrôle refaisable.

Les visées doivent former un triangle non dégénéré. Dans le cas présenté, il faut la longueur AB et deux angles strictement positifs dont la somme reste inférieure à 180°. Il faut aussi connaître le demi-plan où se trouve C, ou l’orientation des visées ; sinon, deux positions symétriques par rapport à AB restent possibles. Un angle de 0°, une somme de 180° ou une direction manquante ne fixent pas le point C ; il faut reprendre ou compléter les mesures.

Auteur de l’observation et auteur de la publication peuvent différer. Certaines observations de Gemma Frisius ont été publiées par Cornelius. Une attribution précise doit donc indiquer si elle concerne l’observation ou sa publication.

La fiche méthode de triangulation approfondit le calcul géométrique exposé par Gemma Frisius. La fiche longitude - géographie - précise la grandeur que sa méthode temporelle cherchait à déterminer. L’article La projection de Mercator prolonge le parcours vers l’œuvre cartographique de son élève.