Heun Karl

En 1900, Karl Heun publie une façon d'approcher la solution d'une équation différentielle ordinaire. Pour avancer d'un petit pas, sa méthode regarde d'abord la pente au point de départ, puis estime la pente au point d'arrivée. Elle combine ces deux indications au lieu de suivre seulement la première.

Ce geste corrige l'idée de la méthode d'Euler : lorsque la fonction est suffisamment régulière et le pas adapté, une pente qui change pendant le pas est mieux représentée par deux observations que par une seule. Le nom de Heun reste attaché à cette amélioration.

Karl Heun est un mathématicien allemand né en 1859 à Wiesbaden et mort en 1929 à Karlsruhe. Après des études à Wiesbaden, Halle et Göttingen auprès de Hermann Schwarz et Eduard Heine, il obtient en 1881 la qualification pour enseigner dans le secondaire en Prusse. Il enseigne dans une école anglaise à partir de 1883, puis soutient à Munich une habilitation sur les équations différentielles. Il occupe ensuite un poste d'assistant de 1886 à 1889.

Sur la recommandation de Felix Klein, Heun obtient en 1902 une chaire titulaire de mécanique théorique à la Technische Hochschule de Karlsruhe. Il la conserve jusqu'à sa retraite en 1921, prise après une crise cardiaque.

Sa contribution la plus connue est publiée en 1900. Pour une équation différentielle ordinaire où la dérivée de la fonction inconnue y dépend de la variable x et de y, on note f(x, y) cette pente et h la longueur du pas. À partir du point de coordonnées x_n et y_n, une première pente k₁ est calculée, puis une valeur prédite fournit la seconde pente k₂. La mise à jour combine les deux : $k_1=f(x_n,y_n),k_2=f(x_n+h,y_n+h{k}_1),y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2)k\_1=f(x\_n,y\_n),\backslash quad\; k\_2=f(x\_n+h,y\_n+hk\_1),\backslash quad\; y\_\{n+1\}=y\_n+\backslash frac\{h\}\{2\}(k\_1+k\_2)$. Cette généralisation de la méthode d'Euler préfigure les méthodes de Runge-Kutta.

On cherche une valeur approchée après un pas pour l'équation où la dérivée de y est égale à y. Les données sont x₀ = 0, y₀ = 1 et un pas h = 0,1. La fonction qui donne la pente est donc f(x, y) = y.

1. La pente initiale vaut k₁ = f(0, 1) = 1.
2. La prédiction d'Euler au bout du pas vaut 1 + 0,1 × 1 = 1,1.
3. La pente au point prédit vaut k₂ = f(0,1 ; 1,1) = 1,1.
4. Heun utilise la moyenne des deux pentes : (1 + 1,1) / 2 = 1,05.
5. La valeur corrigée vaut 1 + 0,1 × 1,05 = 1,105.

Le résultat est donc y₁ = 1,105 à x₁ = 0,1. Le contrôle se refait directement : la moyenne de 1 et 1,1 est bien 1,05, puis un pas de 0,1 ajoute 0,105 à la valeur initiale 1.

Pour effectuer un premier calcul à la main, on part d'une valeur connue, on choisit un pas, puis on évalue successivement les deux pentes. Lorsque la fonction est suffisamment régulière et le pas adapté, la méthode de Heun fournit en général une approximation plus précise qu'un pas d'Euler, au prix d'une seconde évaluation de pente.

Dans un calcul répété, la valeur corrigée devient le point de départ du pas suivant. Si deux évaluations de pente par pas sont acceptables, Heun apporte la correction ; si une seule est imposée, Euler reste l'alternative plus sommaire.

Pour contrôler le calcul, on compare la prédiction et la correction. Un écart visible signale que la pente a changé sur le pas ; réduire le pas permet alors d'examiner si l'approximation se stabilise.

Karl Heun et la méthode de Heun. Karl Heun est la personne ; la méthode est l'algorithme publié en 1900 qui porte son nom. Une date ou un poste universitaire concerne le mathématicien, tandis qu'un pas et deux pentes concernent la méthode.

Méthode d'Euler et méthode de Heun. Euler avance avec la pente du point de départ. Heun calcule aussi une pente au point prédit et combine les deux. Dans l'exemple, Euler donne 1,1 après un pas, tandis que Heun donne 1,105.

Méthode de Heun et méthodes de Runge-Kutta. La source présente la première comme un précurseur des secondes. Le critère sûr est donc le nom de l'algorithme effectivement utilisé, et non la seule présence de plusieurs calculs de pente.

Un pas nul ne fait pas avancer le calcul. Avec h = 0, la valeur suivante reste la valeur initiale, quelles que soient les deux pentes. Il faut choisir un pas non nul dans le sens où l'on veut progresser.

Deux pentes identiques ne produisent aucune correction supplémentaire. Si k₁ = k₂, leur moyenne est k₁ et le pas de Heun coïncide avec celui d'Euler. Ce cas ne rend pas le calcul faux ; il indique seulement que la correction calculée est nulle sur ce pas.

Une valeur corrigée reste une approximation. Le signe = relie exactement les opérations de l'algorithme, mais il ne transforme pas y₁ en solution exacte de l'équation. Pour sonder l'erreur numérique, on recommence avec un pas plus petit et on compare les résultats au même point.

Une grande variation entre prédiction et correction appelle de la prudence. Dans l'exemple, l'écart vaut 1,105 − 1,1 = 0,005. Si cet écart devient important à l'échelle du résultat attendu, il faut réduire le pas plutôt que conclure à partir d'une seule avancée.

Méthode de Heun — Pour isoler l'algorithme, ses deux estimations de pente et son calcul pas à pas.

Méthode d'Euler — Pour comparer la mise à jour à une pente avec la correction introduite par Heun.

Méthode de Runge-Kutta — Pour prolonger l'idée des pentes intermédiaires dans la famille annoncée par les travaux de Heun.