AlgèbreMéthode · Glossaire
méthode à un pas
Classe de méthodes numériques destinées à approcher les solutions d'équations différentielles ordinaires (EDO). Une méthode à un pas est un algorithme qui calcule une estimation de la solution ui+1 à l'instant ti+1 = ti + h uniquement à partir de la valeur ui connue à l'instant précédent ti, où h désigne le pas de discrétisation. La connaissance d'un seul terme précédent suffit donc à avancer d'un pas dans la résolution numérique, ce qui distingue ces méthodes des méthodes multi-pas qui requièrent plusieurs valeurs antérieures.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les données qu'une méthode à un pas utilise pour avancer.
- Reproduire trois pas d'Euler sur l'équation u′ = −u.
- Distinguer méthode à un pas, méthode multi-pas et méthode explicite.
- Repérer les limites liées au pas, à la stabilité et à la convergence.
En clair
Imaginez une température connue maintenant et un calcul qui estime sa valeur un instant plus tard. Une méthode à un pas effectue ce déplacement avec la valeur actuelle, la règle d'évolution et la durée choisie. Elle n'a pas besoin de conserver toute l'histoire du phénomène.
Une fois la nouvelle estimation obtenue, elle devient le point de départ du déplacement suivant. Le mot « pas » désigne donc à la fois l'écart entre deux instants et l'avancée effectuée par le calcul.
Définition
Une méthode à un pas approche la solution d'une équation différentielle ordinaire à partir d'une condition initiale. L'instant courant est noté ti, l'approximation disponible ui et le pas de discrétisation h. L'instant suivant est ti+1 = ti + h. Pour calculer ui+1, l'algorithme utilise ui, ti, h et la fonction qui décrit l'équation, mais aucune approximation antérieure à ui.
Pour une équation écrite u′(t) = f(t, u(t)), une écriture générale fait intervenir une fonction d'incrément Φ propre à la méthode :
Dans la méthode d'Euler explicite, Φ(ti, ui, h) vaut f(ti, ui). Les méthodes de Runge-Kutta calculent plusieurs valeurs intermédiaires à l'intérieur du même pas, tout en partant du seul état ui.
« À un pas » décrit la mémoire nécessaire pour avancer, non la précision, la stabilité ou le caractère explicite de la méthode. Une méthode implicite peut aussi être à un pas si ui+1 est déterminée à partir du seul état précédent, au prix d'une équation à résoudre.
Le principe
Pour avancer de ti à ti+1, on fixe un pas h, on évalue l'incrément prescrit par la méthode à partir de ti et ui, puis on forme ui+1. Le calcul s'arrête à l'instant final choisi ou lorsqu'un critère d'arrêt est atteint.
Pour Euler explicite, la règle directement applicable est :
Après chaque application, la valeur nouvellement calculée remplace la valeur courante pour le pas suivant.
Quand l'utiliser
Le problème doit fournir une équation différentielle ordinaire, une valeur initiale u0 à un instant t0 et un pas h. La règle de la méthode doit pouvoir être évaluée, ou résolue dans le cas implicite, à chaque état rencontré. Pour interpréter les valeurs comme l'approximation d'une solution déterminée, le problème initial doit en outre être bien posé sur l'intervalle parcouru.
Si une formule réclame simultanément ui et ui−1, une seule valeur initiale calculée ne suffit pas : il faut une valeur de démarrage supplémentaire. Cette formule relève alors d'une méthode multi-pas, à initialiser par exemple avec une méthode à un pas.
Un exemple, pas à pas
On approche la solution du problème u′(t) = −u(t), avec la valeur initiale u(0) = 1, par Euler explicite. Le pas vaut h = 0,1 et l'on cherche l'approximation à t = 0,3. La règle devient ui+1 = ui − 0,1ui = 0,9ui.
1. À partir de u0 = 1, on obtient u1 = 0,9 × 1 = 0,9 à t1 = 0,1.
2. La seule valeur transmise au calcul suivant est u1 = 0,9. Ainsi, u2 = 0,9 × 0,9 = 0,81 à t2 = 0,2.
3. À partir de u2 = 0,81, on calcule u3 = 0,9 × 0,81 = 0,729 à t3 = 0,3.
Le résultat numérique est donc u(0,3) ≈ 0,729. La solution exacte de ce problème vaut e−t, soit e−0,3 ≈ 0,7408 : l'écart absolu est d'environ 0,0118. Ce contrôle confirme que 0,729 est une approximation, pas une égalité exacte.
En pratique
Pour une première approximation ou un contrôle manuel, Euler explicite donne une mise en œuvre courte. On réduit le pas et on compare les résultats obtenus afin d'observer si les valeurs se stabilisent.
Lorsque davantage de précision est recherchée sans mémoriser plusieurs états antérieurs, une méthode de Runge-Kutta évalue plusieurs pentes dans chaque pas. Le coût par pas augmente, mais l'information reste construite depuis l'état courant.
Si le calcul devient instable avec un pas pourtant utile, une méthode implicite à un pas peut être préférable. Son choix se paie par la résolution d'une équation à chaque avancée.
À ne pas confondre
Méthode à un pas et méthode multi-pas. La première calcule ui+1 depuis le seul ui. Une formule qui demande aussi ui−1, voire d'autres valeurs antérieures, est multi-pas ; la liste des données requises tranche sans ambiguïté.
Un pas et une seule itération. Une méthode à un pas est répétée autant de fois que nécessaire pour parcourir l'intervalle. Dans l'exemple, trois pas successifs sont nécessaires pour aller de 0 à 0,3.
À un pas et explicite. Euler explicite donne directement la nouvelle valeur, mais une méthode à un pas peut être implicite. Le critère « à un pas » concerne les états antérieurs utilisés ; le critère « explicite » concerne la façon d'obtenir ui+1.
Limites et pièges
Un pas trop grand. Le fait qu'une méthode avance ne garantit ni précision ni stabilité. Pour Euler appliqué à u′ = −u, la multiplication par pas est 1 − h. Si h ≥ 2, les approximations ne décroissent plus strictement en valeur absolue ; il faut réduire h ou choisir une méthode mieux adaptée.
Une mémoire cachée. Des étapes internes de Runge-Kutta ne transforment pas la méthode en méthode multi-pas : elles sont toutes calculées dans le pas courant. En revanche, réutiliser une approximation issue d'un instant antérieur à ti change bien la classification.
Une convergence supposée. La forme à un pas, seule, ne prouve pas que les approximations tendent vers la solution lorsque h diminue. Il faut étudier la consistance, la stabilité et les hypothèses de régularité propres à la méthode et au problème.
Pour aller plus loin
La méthode d'Euler détaille la règle utilisée dans l'exemple et son interprétation par la pente au point courant.
La méthode de Runge-Kutta montre comment plusieurs évaluations internes améliorent l'avancée tout en conservant une structure à un pas.
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