AlgèbreMéthode · Glossaire

méthode à un pas

Classe de méthodes numériques destinées à approcher les solutions d'équations différentielles ordinaires (EDO). Une méthode à un pas est un algorithme qui calcule une estimation de la solution u_i+1 à l'instant t_i+1 = t_i + h uniquement à partir de la valeur u_i connue à l'instant précédent t_i, où h désigne le pas de discrétisation. La connaissance d'un seul terme précédent suffit donc à avancer d'un pas dans la résolution numérique, ce qui distingue ces méthodes des méthodes multi-pas qui requièrent plusieurs valeurs antérieures.

Chaque flèche applique le facteur 0,9 à la seule valeur courante ; aucun état plus ancien n'intervient dans le pas suivant.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Identifier les données qu'une méthode à un pas utilise pour avancer.
Reproduire trois pas d'Euler sur l'équation u′ = −u.
Distinguer méthode à un pas, méthode multi-pas et méthode explicite.
Repérer les limites liées au pas, à la stabilité et à la convergence.

En clair

Imaginez une température connue maintenant et un calcul qui estime sa valeur un instant plus tard. Une méthode à un pas effectue ce déplacement avec la valeur actuelle, la règle d'évolution et la durée choisie. Elle n'a pas besoin de conserver toute l'histoire du phénomène.

Une fois la nouvelle estimation obtenue, elle devient le point de départ du déplacement suivant. Le mot « pas » désigne donc à la fois l'écart entre deux instants et l'avancée effectuée par le calcul.

Définition

Une méthode à un pas approche la solution d'une équation différentielle ordinaire à partir d'une condition initiale. L'instant courant est noté t_i, l'approximation disponible u_i et le pas de discrétisation h. L'instant suivant est t_i+1 = t_i + h. Pour calculer u_i+1, l'algorithme utilise u_i, t_i, h et la fonction qui décrit l'équation, mais aucune approximation antérieure à u_i.

Pour une équation écrite u′(t) = f(t, u(t)), une écriture générale fait intervenir une fonction d'incrément Φ propre à la méthode :

u_{i+1}=u_i+h\,\Phi(t_i,u_i,h)

Dans la méthode d'Euler explicite, Φ(t_i, u_i, h) vaut f(t_i, u_i). Les méthodes de Runge-Kutta calculent plusieurs valeurs intermédiaires à l'intérieur du même pas, tout en partant du seul état u_i.

« À un pas » décrit la mémoire nécessaire pour avancer, non la précision, la stabilité ou le caractère explicite de la méthode. Une méthode implicite peut aussi être à un pas si u_i+1 est déterminée à partir du seul état précédent, au prix d'une équation à résoudre.

Le principe

Pour avancer de t_i à t_i+1, on fixe un pas h, on évalue l'incrément prescrit par la méthode à partir de t_i et u_i, puis on forme u_i+1. Le calcul s'arrête à l'instant final choisi ou lorsqu'un critère d'arrêt est atteint.

Pour Euler explicite, la règle directement applicable est :

u_{i+1}=u_i+h\,f(t_i,u_i)

Après chaque application, la valeur nouvellement calculée remplace la valeur courante pour le pas suivant.

Quand l'utiliser

Le problème doit fournir une équation différentielle ordinaire, une valeur initiale u₀ à un instant t₀ et un pas h. La règle de la méthode doit pouvoir être évaluée, ou résolue dans le cas implicite, à chaque état rencontré. Pour interpréter les valeurs comme l'approximation d'une solution déterminée, le problème initial doit en outre être bien posé sur l'intervalle parcouru.

Si une formule réclame simultanément u_i et u_i−1, une seule valeur initiale calculée ne suffit pas : il faut une valeur de démarrage supplémentaire. Cette formule relève alors d'une méthode multi-pas, à initialiser par exemple avec une méthode à un pas.

Un exemple, pas à pas

On approche la solution du problème u′(t) = −u(t), avec la valeur initiale u(0) = 1, par Euler explicite. Le pas vaut h = 0,1 et l'on cherche l'approximation à t = 0,3. La règle devient u_i+1 = u_i − 0,1u_i = 0,9u_i.

1. À partir de u₀ = 1, on obtient u₁ = 0,9 × 1 = 0,9 à t₁ = 0,1.

2. La seule valeur transmise au calcul suivant est u₁ = 0,9. Ainsi, u₂ = 0,9 × 0,9 = 0,81 à t₂ = 0,2.

3. À partir de u₂ = 0,81, on calcule u₃ = 0,9 × 0,81 = 0,729 à t₃ = 0,3.

Le résultat numérique est donc u(0,3) ≈ 0,729. La solution exacte de ce problème vaut e^−t, soit e^−0,3 ≈ 0,7408 : l'écart absolu est d'environ 0,0118. Ce contrôle confirme que 0,729 est une approximation, pas une égalité exacte.

En pratique

Pour une première approximation ou un contrôle manuel, Euler explicite donne une mise en œuvre courte. On réduit le pas et on compare les résultats obtenus afin d'observer si les valeurs se stabilisent.

Lorsque davantage de précision est recherchée sans mémoriser plusieurs états antérieurs, une méthode de Runge-Kutta évalue plusieurs pentes dans chaque pas. Le coût par pas augmente, mais l'information reste construite depuis l'état courant.

Si le calcul devient instable avec un pas pourtant utile, une méthode implicite à un pas peut être préférable. Son choix se paie par la résolution d'une équation à chaque avancée.

À ne pas confondre

Méthode à un pas et méthode multi-pas. La première calcule u_i+1 depuis le seul u_i. Une formule qui demande aussi u_i−1, voire d'autres valeurs antérieures, est multi-pas ; la liste des données requises tranche sans ambiguïté.

Un pas et une seule itération. Une méthode à un pas est répétée autant de fois que nécessaire pour parcourir l'intervalle. Dans l'exemple, trois pas successifs sont nécessaires pour aller de 0 à 0,3.

À un pas et explicite. Euler explicite donne directement la nouvelle valeur, mais une méthode à un pas peut être implicite. Le critère « à un pas » concerne les états antérieurs utilisés ; le critère « explicite » concerne la façon d'obtenir u_i+1.

Limites et pièges

Un pas trop grand. Le fait qu'une méthode avance ne garantit ni précision ni stabilité. Pour Euler appliqué à u′ = −u, la multiplication par pas est 1 − h. Si h ≥ 2, les approximations ne décroissent plus strictement en valeur absolue ; il faut réduire h ou choisir une méthode mieux adaptée.

Une mémoire cachée. Des étapes internes de Runge-Kutta ne transforment pas la méthode en méthode multi-pas : elles sont toutes calculées dans le pas courant. En revanche, réutiliser une approximation issue d'un instant antérieur à t_i change bien la classification.

Une convergence supposée. La forme à un pas, seule, ne prouve pas que les approximations tendent vers la solution lorsque h diminue. Il faut étudier la consistance, la stabilité et les hypothèses de régularité propres à la méthode et au problème.