méthode de Heun

Imaginez une voiture dont la vitesse varie. Pour estimer la distance parcourue pendant un court intervalle, utiliser seulement la vitesse de départ peut être trompeur. La méthode de Heun commence par cette estimation, puis s'en sert pour prévoir la vitesse à l'arrivée.

Elle recommence alors le calcul avec la moyenne des vitesses de départ et d'arrivée. Pour une équation différentielle, ces vitesses sont les deux pentes de la solution. Ce geste de prédiction puis de correction est plus précis qu'un pas d'Euler de même longueur.

La méthode de Heun approche la solution d'une équation différentielle ordinaire écrite sous la forme $y^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x,y(x))y\text{'}(x)=f(x,y(x))$. La fonction f fournit la pente à partir de la position x et de la valeur y. On connaît une approximation y_n au point x_n, puis on avance d'un pas h jusqu'à x_n+1 = x_n + h.

La première pente, notée k₁, est évaluée au départ. Un pas d'Euler donne ensuite une valeur prédite, notée ỹ_n+1. La seconde pente k₂ est évaluée au point d'arrivée avec cette valeur prédite. La correction utilise la moyenne de k₁ et k₂. Le schéma est ainsi une méthode explicite de Runge–Kutta à deux évaluations de f.

Lorsque f est suffisamment régulière et que le problème initial possède une solution unique, l'erreur commise sur un seul pas est d'ordre h³. Sur un intervalle fixé, l'erreur globale est d'ordre h² : diviser h par deux réduit donc asymptotiquement cette erreur d'un facteur proche de quatre. Cette propriété ne dispense pas de choisir un pas adapté à la variation de la solution.

Pour avancer de x_n à x_n+1 = x_n + h, on part de la valeur y_n et on évalue d'abord la pente k₁. Les quatre opérations du pas sont :

La valeur corrigée y_n+1 devient le point de départ du pas suivant. Le calcul s'arrête au point final choisi ou lorsque le critère d'arrêt du problème est satisfait.

La méthode s'applique à un problème initial : une équation y′ = f(x, y), une valeur de départ y(x₀) = y₀ et un pas h. Il faut pouvoir évaluer f au départ du pas puis au point prédit, sans quitter son domaine de définition.

La convergence d'ordre deux suppose notamment que la solution et les dérivées nécessaires de f soient régulières sur l'intervalle calculé. Une condition de Lipschitz de f par rapport à y garantit localement la stabilité de la propagation des erreurs et, avec les hypothèses usuelles, l'unicité de la solution suivie.

Si la pente devient indéfinie au point prédit, k₂ ne peut pas être évalué et le pas ne peut pas être corrigé. Une singularité située à l'intérieur du pas peut aussi rendre celui-ci invalide pour la solution suivie, même si k₂ reste évaluable ; il faut alors réduire le pas, arrêter avant la singularité ou employer une méthode conçue pour ce comportement.

Approchons y(0,1) pour le problème y′ = y et y(0) = 1. Les données sont x₀ = 0, y₀ = 1, le pas h = 0,1 et la fonction f(x, y) = y.

1. La pente de départ vaut k₁ = f(0, 1) = 1.

2. La prédiction d'Euler est ỹ₁ = 1 + 0,1 × 1 = 1,1.

3. Au point prédit, la seconde pente vaut k₂ = f(0,1 ; 1,1) = 1,1. Le schéma réunit ces valeurs dans un même enchaînement de prédiction et de correction.

4. La moyenne des pentes vaut (1 + 1,1)/2 = 1,05. La valeur corrigée est donc y₁ = 1 + 0,1 × 1,05 = 1,105.

5. La solution exacte est y(x) = e^x, donc y(0,1) ≈ 1,105170. L'erreur absolue de Heun est d'environ 0,000170, contre environ 0,005170 pour la prédiction d'Euler 1,1. Ce contrôle confirme ici le gain de précision.

Pour simuler une évolution dont la pente change progressivement, Heun offre un compromis simple : deux évaluations de f par pas améliorent nettement Euler. Si une seule évaluation est impérative, Euler coûte moins cher mais demande souvent des pas plus petits.

Pour vérifier qu'un pas est assez fin, refaites le calcul avec h/2 et comparez les valeurs au même point. Si l'écart ne diminue pas approximativement comme attendu pour une méthode d'ordre deux, réduisez encore le pas ou recherchez une irrégularité.

Pour un système de plusieurs équations, y, k₁ et k₂ deviennent des vecteurs et les mêmes opérations s'effectuent composante par composante. Si le problème est raide et force des pas minuscules pour rester stable, une méthode implicite adaptée est préférable.

Méthode de Heun et méthode d'Euler explicite. Euler conserve seulement la pente de départ, tandis que Heun calcule aussi une pente au point prédit et moyenne les deux. Sur y′ = y avec h = 0,1, Euler donne 1,1 et Heun 1,105.

Heun et méthode du point milieu. Ces deux schémas sont d'ordre deux et utilisent deux pentes, mais le point milieu évalue la seconde à mi-pas. Heun l'évalue en fin de pas sur la prédiction d'Euler ; les formules diffèrent même si leur ordre coïncide.

Heun et règle du trapèze implicite. Heun emploie la pente d'une valeur finale prédite et reste explicite. La règle implicite utilise la pente de la valeur finale inconnue ; elle impose généralement de résoudre une équation à chaque pas.

Pas trop grand. L'ordre deux décrit le comportement lorsque h devient petit ; il ne garantit pas une bonne valeur pour un pas arbitraire. Si deux calculs avec h et h/2 diffèrent fortement au même point, réduisez le pas au lieu de faire confiance à l'ordre annoncé.

Équation raide. Pour l'équation test y′ = λy avec λ réel négatif, Heun est stable sur l'axe réel seulement lorsque −2 ≤ hλ ≤ 0. Si h|λ| dépasse 2, une croissance numérique apparaît malgré la décroissance exacte ; choisissez un pas plus petit ou un schéma implicite.

Ordre asymptotique. Diviser h par deux rapproche l'erreur globale d'un quart seulement dans le régime où le terme en h² domine. Près d'une discontinuité, d'une singularité ou sous l'effet des arrondis, ce rapport peut échouer ; contrôlez les résultats par raffinement.

Nom ambigu. Certaines sources emploient « Euler amélioré » pour Heun, d'autres pour le point milieu. Vérifiez toujours où la seconde pente est évaluée : en fin de pas sur la prédiction pour le schéma décrit ici.

méthode d'Euler — Comparer le pas fondé sur une seule pente avec la prédiction qui ouvre chaque étape de Heun.

méthode de Runge-Kutta — Replacer les deux pentes de Heun dans la famille générale des schémas explicites à plusieurs étapes.