AnalyseMéthode · Glossaire
méthode d'Euler
La méthode d'Euler approche la solution d'une équation différentielle du premier ordre y′ = f(t, y) munie d'une condition initiale, en avançant par pas : à chaque étape, elle prolonge la tangente donnée par la pente f au point courant. Lorsque f est continue et localement lipschitzienne par rapport à y, ce qui assure localement une solution unique, les approximations convergent vers cette solution quand le pas tend vers zéro.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les données nécessaires et appliquer la relation d’itération.
- Refaire quatre pas de calcul sur une équation différentielle simple.
- Distinguer erreur locale, erreur globale et instabilité numérique.
En clair
Imaginez une courbe dont vous connaissez le point de départ et la pente à chaque endroit, mais pas encore le tracé. La méthode d’Euler avance par petits pas. À chaque étape, elle suit brièvement la direction de la tangente, puis recalcule la pente au nouveau point.
Plus le pas est court, plus cette ligne brisée peut épouser la courbe. Le calcul reste toutefois approximatif, car la pente peut changer entre deux étapes.
Définition
La méthode d’Euler explicite approche la solution d’une équation différentielle ordinaire du premier ordre munie d’une condition initiale. Le temps, ou plus généralement la variable indépendante, est noté t. La valeur cherchée est notée y, et la fonction f fournit sa dérivée à partir de t et de y.
On choisit un pas h et des instants successifs tn. À partir d’une valeur approchée yn, la valeur suivante est obtenue par , tandis que . Chaque segment utilise donc la pente calculée au début du pas.
Le schéma est une méthode à un pas d’ordre 1. Lorsque les hypothèses de convergence sont réunies et que l’intervalle parcouru reste fixé, son erreur globale est de l’ordre de h. L’erreur commise pendant une seule étape est, elle, de l’ordre de h2. Réduire le pas améliore donc généralement la précision, au prix d’un plus grand nombre de calculs.
Le principe
On part d’un instant initial t0 et d’une valeur connue y0. On choisit le pas h. Pour chaque rang n, on calcule d’abord la pente f(tn, yn), puis on applique :
On répète ces deux opérations jusqu’à atteindre l’instant visé. Si le dernier intervalle n’est pas un multiple de h, le dernier pas doit être ajusté.
Quand l'utiliser
Le schéma s’applique à un problème du premier ordre où une valeur initiale est connue et où la fonction de pente f peut être évaluée à chaque point calculé. Il faut aussi que le problème possède une solution sur l’intervalle parcouru. Pour garantir une solution unique et la convergence usuelle, on suppose notamment que f est suffisamment régulière et lipschitzienne par rapport à y dans la zone considérée.
Si f n’est pas définie au point suivant, l’itération s’arrête. Si plusieurs solutions partent de la même condition initiale, le calcul ne suffit pas à établir laquelle est visée. Enfin, pour une équation raide, un pas pourtant raisonnable peut produire des oscillations ou une croissance artificielle ; un schéma implicite ou un pas beaucoup plus petit devient alors préférable.
Un exemple, pas à pas
On approche à l’instant 1 la solution du problème , avec la valeur initiale y(0) = 1. Le pas vaut 0,25. Les données sont donc t0 = 0, y0 = 1, h = 0,25 et f(t, y) = y.
1. Au premier pas, y1 = 1 + 0,25 × 1 = 1,25.
2. Au deuxième, y2 = 1,25 + 0,25 × 1,25 = 1,5625.
3. Au troisième, y3 = 1,5625 + 0,25 × 1,5625 = 1,953125.
4. Au quatrième, y4 = 1,953125 + 0,25 × 1,953125 = 2,44140625.
2. Au deuxième, y2 = 1,25 + 0,25 × 1,25 = 1,5625.
3. Au troisième, y3 = 1,5625 + 0,25 × 1,5625 = 1,953125.
4. Au quatrième, y4 = 1,953125 + 0,25 × 1,953125 = 2,44140625.
La valeur approchée à l’instant 1 est donc 2,44140625. La solution exacte est , donc y(1) ≈ 2,71828. L’écart absolu est d’environ 0,27688. Un contrôle direct consiste à vérifier que chaque valeur calculée vaut 1,25 fois la précédente. La figure matérialise cet écart sans remplacer le calcul.
En pratique
Pour obtenir rapidement quelques valeurs d’une évolution décrite par une équation différentielle, Euler explicite se programme avec une seule évaluation de pente par pas. Il convient surtout à une première simulation ou à un contrôle manuel.
La comparaison de deux calculs, l’un avec le pas h et l’autre avec le pas h/2, donne un signal pratique. Si les résultats changent trop pour la précision recherchée, il faut encore réduire le pas ou préférer une méthode d’ordre supérieur.
Lorsque les valeurs oscillent ou explosent alors que le modèle ne le prévoit pas, diminuer le pas sert de diagnostic. Si l’instabilité persiste à un coût prohibitif, une méthode adaptée aux équations raides est plus appropriée.
À ne pas confondre
Méthode d’Euler explicite et méthode d’Euler implicite. La première évalue la pente au point déjà connu : f(tn, yn). La seconde fait intervenir le point encore inconnu : f(tn+1, yn+1). Si chaque pas exige de résoudre une équation, il s’agit du schéma implicite.
Méthode d’Euler et méthode d’Euler améliorée. Euler explicite conserve seulement la pente au début du pas. Une méthode améliorée combine plusieurs estimations de pente. Le nombre d’évaluations de f par pas ne suffit toutefois pas à distinguer les deux procédures.
Limites et pièges
Un pas trop grand déforme la trajectoire. Dans l’exemple, quatre pas de 0,25 donnent 2,44140625 à l’instant 1, contre environ 2,71828 exactement. L’écart est déjà proche de 0,27688. Il faut comparer plusieurs tailles de pas avant d’interpréter la valeur.
L’ordre 1 ne décrit pas une erreur fixe. Il signifie qu’en régime asymptotique, sur un intervalle fixé et sous les hypothèses de régularité, l’erreur globale varie comme le pas. Diviser h par deux tend à diviser cette erreur par deux, sans garantir cette proportion pour un pas encore trop grand.
La stabilité peut imposer un seuil plus strict que la précision. Pour l’équation test , avec un nombre réel négatif , Euler explicite est stable seulement si . Hors de cet intervalle, il faut réduire h ou changer de schéma.
Pour aller plus loin
La méthode d’Euler ouvre l’étude des méthodes à un pas. Remplacer la seule pente initiale par plusieurs pentes conduit à des schémas d’ordre supérieur. Étudier l’erreur globale mène à la convergence, tandis que l’équation test introduit la stabilité numérique et explique pourquoi les problèmes raides demandent des méthodes particulières.
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